Epreuve anticipée
Mathématiques - Informatique Série L
Amérique du Nord - Session 2006

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2
Le candidat doit traiter les deux exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

Exercice 1 (8 points)

La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt.
Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant :

Température (en °C)	Nombre de fois où cette température a été relevée
14,5	5
15	7
15,5	10
16	12
16,5	15
17	10
17,5	11
18	9
18,5	7
19	7
19,5	4

1. a) Déterminer la médiane M, les quartiles Q₁ et Q₃ de cette série statistique.

On appelle premier décile (noté D₁) la plus petite valeur de la température telle qu'au moins 10% des valeurs sont inférieures ou égales à D₁. On appelle neuvième décile (noté D₉) la plus petite valeur telle qu'au moins 90% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

b) Justifier que D₁ = 15 et calculer D₉.
c) Calculer l'écart interquartile.

2. La température a été relevée de la même manière et aux mêmes instants dans un champ à l'extérieur de la forêt. Cette deuxième série de résultats ne figure pas ici, mais :
       - la médiane de cette deuxième série est M' = 23°C
       - les quartiles de cette deuxième série sont Q'₁ = 15° et Q'₃ = 28°C.
       - les déciles de cette deuxième série dont D'₁ = 13°C et D'₉ = 31°C.

    a) Calculer l'écart interquartile de cette nouvelle série.
    b) On a construit sur l'annexe un diagramme en boîte de cette série. Les extrémités du diagramme correspondent aux premier et neuvième déciles. Construire au-dessous de ce diagramme celui de la série des températures relevées dans la forêt.
    c) En quelques lignes, expliquer quelle semble être l'influence des arbres sur la température à l'intérieur de la forêt.

Diagrammes en boîtes

Annexe

Exercice 2 (12 points)

Dans cet exercice, tous les temps sont exprimés en dixième de seconde et les distances en mètre.

On modélise la trajectoire d'une balle de tennis par une courbe dans un repère $\text{[math]}$ , représentée dans le graphique ci-dessous. Une unité représente un mètre.
Le joueur de tennis frappe sa balle à l'instant 0 en M₀ de coordonnées (0 ; 2,5).

Graphique

Pour un entier n, la position de la balle du joueur dans le repère $\text{[math]}$ à l'instant n est le point M_n de coordonnées ( $\text{[math]}$ ; y_n). Des valeurs $\text{[math]}$ et y_n pour n compris entre 0 et 5 sont données par le tableau de l'annexe, extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.
Ce tableau doit être complété durant l'exercice.

Les questions 1 à 4 sont dans une large mesure indépendantes.

1. Etude de la suite des nombres $\text{[math]}$ (abscisse de la position de la balle à l'instant n).

a) Montrer que les valeurs $\text{[math]}$ sont les premiers termes d'une suite arithmétique dont on déterminera la raison r. Ecrire la valeur trouvée de r dans la cellule E1 du tableau de l'annexe.

b) On admet que les nombres $\text{[math]}$ sont les termes de la suite arithmétique de premier terme $\text{[math]}$ et de raison r. Justifier que $\text{[math]}$ = 2,8n.

c) On veut introduire dans la cellule B7 une formule recopiable jusqu'en B9, encore valable si on change la valeur de r. Donner cette formule.

d) Compléter les deux cellules manquantes de la colonne B du tableau de l'annexe.

e) La balle arrive au niveau du filet, situé à 12 mètres du point O, à l'intant t.
A l'aide du tableau, donner un encadrement de t entre deux valeurs distantes de un dixième de seconde.

2. Etude de la suite des nombres y_n (ordonnée de la position de la balle à l'instant n).

a) Montrer que la suite des nombres y_n n'est ni arithmétique, ni géométrique.

b) Les lois de la physique permettent d'écrire la relation y_n = -0,0784n² + 2,5.
Quelle formule tableur doit-on écrire en C4 de façon à la recopier jusqu'en C9 ?

3. Etude de la trajectoire d'une balle.
Le filet, situé à 12 mètres du point O mesure environ 0,90 m de hauteur. Expliquer, en utilisant le graphique, pourquoi la balle passe au dessus du filet.

4. Lors de la mise en jeu, le joueur au service a droit à deux essais pour placer la balle dans le carré de service adverse. Ces essais sont appelés premier et deuxième service.
Au cours d'un match, le joueur a manqué 20 premiers services. Il a donc joué 20 deuxièmes services.

a) Lors de ce match, sur les 20 deuxièmes servives, 3 ont été réussis sans être rattrapés par l'adversaire. Parmi les deuxièmes services, quel est le pourcentage de services réussis non rattrapés par l'adversaire ?

b) Sur ces 20 deuxièmes servives, 65% ont été placés dans le carré de service adverse.
Calculer le nombre de deuxièmes services réussis.

c) Les 20 premiers services manqués correspondent, pour les premiers services joués, à un pourcentage d'échec de 26,7% (arrondi à 0,1%). Quel est le nombre total des premiers services que le joueur a effectués au cours de ce match ?

Valeurs de $\text{[math]}$ et y_n