Fiche de mathématiques

Bac 2006

Epreuve de spécialité - Série L
Polynésie Française - Session 2006

L'usage d'une calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 3 Durée de l'épreuve : 3 heures

6 points

exercice 1

Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
On note p_i la probabilité d'obtenir le nombre i pour i $\in$ {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

1. Exprimer p_i en fonction de i puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est $\frac35$ .

2. On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10 %. Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de 11 euros. La mise minimale est de 20 euros.

Un joueur décide de faire trois parties successives :

il mise cent euros pour la première partie ;

pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;

pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.

   a) Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies à un euro près, 133 euros, 110 euros, 109 euros, 108 euros, 88 euros, 87 euros, 86 euros et 67 euros.
   b) Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à $\frac{18}{125}$ .
   c) Calculer la probabilité de chacun des quatre événements qui conduisent à une perte.
   d) Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
Indication : pour la question 2, on pourra s'aider d'un arbre. 5 points

exercice 2

PARTIE A

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^x -2x$ .

1. Calculer $g'(x)$ où g' désigne la dérivée de g puis dresser le tableau de variations de g.

2. En déduire que pour tout réel $x$ de $\mathbb{R}$ , $g(x) > 0$ .

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x -x^2$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en - $\infty$ puis la limite de $f$ en + $\infty$ .
Pour la limite en + $\infty$ on pourra remarquer que pour $x$ non nul $f(x)$ peut s'écrire : $x^2\left(\frac{e^x}{x^2} - 1\right)$ .

2. Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ , puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de $f$ .

3. On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$ .
   a) Calculer $f(-1)$ et $f(0)$ .
   b) Montrer que la solution de l'équation $f(x) = 0$ est unique et qu'elle appartient à l'intervalle [-1 ; 0].
   c) En utilisant une calculatrice pour calculer $f(x)$ pour différentes valeurs de $x$ , donner une valeur approchée à 10^-3 près de cette solution.
Justifier la valeur retenue. 5 points

exercice 3

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide.

1. Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ; L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = $\text{\frac{IJ}{JL}}$ .

2. Calculer :
   a) La longueur JL en fonction de r .
   b) La longueur IJ en fonction de r et de h.
   c) En déduire la valeur de t en fonction de r et h.
   d) L'aire du triangle OUI en fonction de r et h.

3. Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :
    $\frac{h^2}{r^2} = \frac{\sqrt{h^2 + r^2}}{r}$ (1)

4. a) Calculer t² - 1.
   b) En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : t² - t - 1 = 0 (2).

5. a) Montrer que : $\left(t - \frac12\right)^2 - \frac54 = t^2 - t - 1$ .
   b) En déduire les solutions de l'équation (2).
   c) Quel nom porte la seule solution possible ?

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 1

Annexe de l'exercice 3

4 points

exercice 4

Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied.
Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours.
On notera d_n la distance parcourue durant le n-ième jour.

1. Calculer les distances d₁, d₂, d₃ parcourues durant les trois premiers jours.

2. Expliquer pourquoi d_n+1 = 0,99d_n.
En déduire la nature de la suite (d_n) et l'expression de d_n en fonction de n.

3. a) Calculer, en fonction de n, le nombre total L_n de kilomètres parcourus au bout de n jours.
(L_n = d₁ + d₂ + ··· + d_n).
b) En déduire la limite de L_n lorsque n tend vers + $\infty$ .
Le globe-trotter peut-il gagner ?

4. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours N qui lui seraient nécessaires pour parcourir 4 999 km.

On rappelle que :

La somme S des n premiers termes d’une suite arithmétique (u_n) de raison r est : S = u₁ + u₂ + ··· + u_n = $n \hspace{1pt} \frac{u_1 + u_n}{2}$
La somme S' des n premiers termes d’une suite géométrique (v_n) de raison q (q $\neq$ 1) est : S' = v₁ + v₂ + ··· + v_n = $v_1 \hspace{1pt} \frac{1 - q^n}{1 - q}$