Fiche de mathématiques

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Epreuve de spécialité - Série L
Polynésie Française - Session 2006

L'usage d'une calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 3 Durée de l'épreuve : 3 heures

6 points

exercice 1

Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
On note p_i la probabilité d'obtenir le nombre i pour i $\in$ {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

1. Exprimer p_i en fonction de i puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est $\dfrac{3}{5}$ .

2. On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10 %. Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de 11 euros. La mise minimale est de 20 euros.

Un joueur décide de faire trois parties successives :
il mise cent euros pour la première partie ;
pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;
pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.

   a) Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies à un euro près, 133 euros, 110 euros, 109 euros, 108 euros, 88 euros, 87 euros, 86 euros et 67 euros.
   b) Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à $\dfrac{18}{125}$ .
   c) Calculer la probabilité de chacun des quatre événements qui conduisent à une perte.
   d) Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
Indication : pour la question 2, on pourra s'aider d'un arbre.

5 points

exercice 2

PARTIE A

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^x -2x$ .

1. Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la dérivée de $g$ puis dresser le tableau de variations de $g.$

2. En déduire que pour tout réel $x$ de $\mathbb{R}$ , $g(x) > 0$ .

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x -x^2$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ puis la limite de $f$ en $+\infty$ .
Pour la limite en $+\infty$ on pourra remarquer que pour $x$ non nul $f(x)$ peut s'écrire : $x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2} - 1\right)$ .

2. Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ , puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de $f$ .

3. On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$ .
   a) Calculer $f(-1)$ et $f(0)$ .
   b) Montrer que la solution de l'équation $f(x) = 0$ est unique et qu'elle appartient à l'intervalle [-1 ; 0].
   c) En utilisant une calculatrice pour calculer $f(x)$ pour différentes valeurs de $x$ , donner une valeur approchée à 10^-3 près de cette solution.
Justifier la valeur retenue.

5 points

exercice 3

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide.

1. Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ; L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = $\dfrac{\text{IJ}}{\text{JL}}$ .

2. Calculer :
   a) La longueur JL en fonction de r.
   b) La longueur IJ en fonction de r et de h.
   c) En déduire la valeur de t en fonction de r et h.
   d) L'aire du triangle OUI en fonction de r et h.

3. Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :
    $\dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{\sqrt{h^2 + r^2}}{r}$ (1)

4. a) Calculer t² - 1.
   b) En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : t² - t - 1 = 0 (2).

5. a) Montrer que : $\left(t - \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{5}{4} = t^2 - t - 1$ .
   b) En déduire les solutions de l'équation (2).
   c) Quel nom porte la seule solution possible ?

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 1

Annexe de l'exercice 3

4 points

exercice 4

Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied.
Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours.
On notera d_n la distance parcourue durant le n-ième jour.

1. Calculer les distances d₁, d₂, d₃ parcourues durant les trois premiers jours.

2. Expliquer pourquoi d_n+1 = 0,99d_n.
En déduire la nature de la suite (d_n) et l'expression de d_n en fonction de n.

3. a) Calculer, en fonction de n, le nombre total L_n de kilomètres parcourus au bout de n jours.
(L_n = d₁ + d₂ + ··· + d_n).
b) En déduire la limite de L_n lorsque n tend vers + $\infty$ .
Le globe-trotter peut-il gagner ?

4. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours N qui lui seraient nécessaires pour parcourir 4 999 km.

On rappelle que :
La somme S des n premiers termes d’une suite arithmétique (u_n) de raison r est : S = u₁ + u₂ + ··· + u_n = $n \hspace{1pt} \dfrac{u_1 + u_n}{2}$
La somme S' des n premiers termes d’une suite géométrique (v_n) de raison q (q $\neq$ 1) est : S' = v₁ + v₂ + ··· + v_n = $v_1 \hspace{1pt} \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Voir la correction

exercice 1

1. La probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
D'où l'existence d'un réel t tel que p_i = ti pour tout $i \in \lbrace 1, 2, 3, 4\rbrace$
On a donc $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 \: \Longleftrightarrow \: t + 2t + 3t + 4t = 1$
Donc $10t = 1 \: \Longleftrightarrow \: t = \dfrac{1}{10}$
On en déduit alors les valeurs des p_i :
$p_1 = \dfrac{1}{10} \hspace{25pt} p_2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\\ p_3 = \dfrac{3}{10} \hspace{25pt} p_4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
On en déduit alors : p(obtenir un nombre pair) = p₂ + p₄ = $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$

2. a) On dresse l'arbre probabilisé de cette expérience :

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 2

Détails :
100 × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 133 €
100 × 1,1 × 1,1 - 11 = 110 €
(100 × 1,1 - 11) × 1,1 = 109 €
(100 × 1,1 - 11) - 11 = 88 €
(100 - 11) × 1,1 × 1,1 = 108 €
(100 - 11) × 1,1 - 11 = 87 €
(100 - 11 - 11) × 1,1 = 86 €
(100 - 11 - 11) - 11 = 67 €

2. b) Le joueur perd si son gain est inférieur à sa mise, donc :
p(gagner 110 euros) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{125}$

2. c) p(gagner 67 euros) = $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{125}$
p(gagner 86 euros) = $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{125}$
p(gagner 87 euros) = $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{125}$
p(gagner 88 euros) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{125}$

2. d) La probabilité de gagner moins de 100 euros est : $\dfrac{8}{125} + 3 \times \dfrac{12}{125} = \dfrac{44}{125}$
La probabilité de gagner plus de 100 euros est : $1 - \dfrac{44}{125} = \dfrac{81}{125} > \dfrac{44}{125}$
On en conclut que la probabilité pour ce joueur de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.

exercice 2

PARTIE A

1. La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$g'(x) = e^x - 2$
$g'(x) > 0 \: \Longleftrightarrow \: e^x - 2 > 0 \\ \Longleftrightarrow \: e^x > 2 \: \Longleftrightarrow \: x > \ln 2$
Donc la fonction $g$ est croissante sur $[\ln 2 ; +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty ; \ln 2[.$
De plus, $g(\ln 2) = e^{\ln 2} - 2\ln 2 = 2 - 2\ln 2 \approx 0,61$
D'où le tableau de variations :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty &&\ln 2&&+\infty \\ \hline g'(x)&&-&0&+& \\ \hline \hspace{1pt} & & && & \\ g(x)& &\searrow &&\nearrow & \\ \hspace{1pt}& & &0,61& & \\ \hline \end{array}$

2. Le minimum de la fonction $g$ est $g(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 > 0$ donc pour tout $x$ on a $g(x) > 0$

PARTIE B

1. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \: e^x = 0$
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \: (-x^2) = -\infty$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \: f(x) = -\infty$
Or, $f(x) = e^x - x^2$ , donc on a une forme indéterminée $+ \infty - \infty$
Factorisons par le terme le plus fort, c'est à dire $e^x$ :
$f(x) = e^x - x^2 = e^x\left(1 - \dfrac{x^2}{e^x}\right)$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \: \left(1-\frac{x^2}{e^x}\right) = 1$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \: x^2 = + \infty$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \: f(x) = +\infty$

2. Pour tout réel $x$ , on a : $f'(x) = e^x - 2x = g(x) > 0$ d'après la partie A.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
D'où le tableau de variations :
$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty&&+\infty\\ \hline f'(x) & & \qquad \qquad +\qquad \qquad &\\ \hline \hspace{1pt} &&&+\infty \\ {f(x)}&&\nearrow &\\ \hspace{1pt} &-\infty && \\ \hline \end{array}$

3. a) $f(-1) = e^{-1} - 1 = \dfrac{1}{e} - 1$
$f(0) = e^0 - 0 = 1$

3. b) La foction $f$ est stritement croissante sur [-1 ; 0] et on a $f(-1) < 0$ .
Donc la solution de l'équation $f(x) = 0$ est unique et appartient à [-1 ; 0].

3. c) On a : $f(-0,704) < 0$ et $f(-0,703) > 0$ .
Donc la solution de cette équation est comprise entre -0,704 et -0,703.
On peut prendre -0,704 comme valeur approchée à 10^-3 près de cette solution.

exercice 3

1. L est le centre du carré AOUT, I est le sommet, J le milieu de [OU].

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 3

2. a) Considérons le triangle AOU. J et L sont les milieux respectifs de [OU] et [AU].
D' après le théorème de la droite des milieux, on a : $\text{LJ} = \dfrac{\text{AO}}{2} = \dfrac{\text{OU}}{2} = \text{OJ} = \text{r}$ donc LJ = r.

2. b) Le triangle IJL est rectangle L. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle nous permet d'écrire :
IJ² = IL² + LJ² = h² + r²

2. c) $t = \dfrac{\text{IJ}}{\text{JL}} = \dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}$

2. d) $\mathcal{A}_{\text{OUI}} = \dfrac{\text{OU} \times \text{IJ}}{2} = \dfrac{2r\sqrt{r^2+h^2}}{2} = r\sqrt{r^2+h^2}$

3. L'exigence de Cléopatre se traduit par la relation :
$\text{IL}^2 = \mathcal{A}_{\text{OUI}}$ d'où $h^2 = r\sqrt{r^2+h^2}$ donc $\dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{r\sqrt{r^2+h^2}}{r^2} = \dfrac{\sqrt{r^2+h^2}}{r}$ (1)

4. a) $t^2 - 1 = \left[\dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}\right]^2 - 1 = \dfrac{h^2+r^2}{r^2} - 1 = \dfrac{h^2}{r^2}$

4. b) $t^2 - 1 = \dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}$ d'après le (1).
Or $t = \dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}$
Donc $t^2 - 1 = t \: \Longleftrightarrow t^2 - t - 1 = 0$

5. a) On développe $\left[t - \dfrac{1}{2}\right]^2 = t^2 - 2\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} = t^2 - t - 1$

5. b) $t^2 - t - 1 = 0 \: \Longleftrightarrow \left[t - \dfrac{1}{2}\right]^2 - \dfrac{5}{4} = 0$
$\Longleftrightarrow \: \left[t - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] \left[t - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] = 0$ (On a utilisé l'identité remarquable : $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
$\Longleftrightarrow \: \left[t - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] = 0 \text{ ou } \left[t - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] = 0 \\ \Longleftrightarrow \: t = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{ ou } t = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Cette dernière valeur ne convient pas car elle est négative.
D'où : $t = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or.

exercice 4

1. $d_1 = 50$
$d_2 = 50 - \dfrac{1}{100} \times 50 = 50 - 0,5 = 49,5\\ d_3 = 49,5 - \dfrac{1}{100} \times 49,5 = 49,5 - 0,495 = 49,005$

2. Chaque distance est obtenue en diminuant la précédente de 1% donc en multipliant la précédente par 0,99. Par conséquent pour tout entier n $\neq$ 0 :
$d_{n+1} = d_n - \dfrac{1}{100}d_n = d_n - 0,01d_n = (1 - 0,01)d_n = 0,99d_n$
$(d_n)$ est donc une suite géométrique de raison 0,99.
$d_n = d_1 \times(0,99)^{n-1} = 50\times (0,99)^{n-1}$

3. a) $L_n = d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n = d_1 \dfrac{1 - (0,99)^n}{1 - 0,99} = 50 \times \dfrac{1 - (0,99)^n}{0,01}$
D'où : $L_n = 5000(1 - (0,99)^n)$

3. b) D'après le cours on sait que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \: (0,99)^n = 0$ car |0,99| < 1.
Donc $\displaystyle \lim_{n\to\infty} L_n = 5000$
On en conclut que le globe trotter n'atteindra jamais 5000 km. Il ne peut donc pas gagner.

4. $L_n = 5000(1 - (0,99)^n) \geq 4999 \: \Longleftrightarrow \: 1 - (0,99)^n \geq \dfrac{4999}{5000} = 0,9998$
$\Longleftrightarrow \: -(0,99)^n \geq 0,9998 - 1 \: \Longleftrightarrow \: (0,99)^n \leq 0,0002 \\ \Longleftrightarrow \: n \ln 0,99 \leq \ln 0,0002 \Longleftrightarrow \: n \geq \dfrac{\ln 0,0002}{\ln 0,99} \approx 847,5$
Le nombre minimal cherché est de 848 jours.

Publié par Cel/cva le 31-05-2008

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