Fiche de mathématiques

Bac 2006

Epreuve de spécialité
Série L - Session 2006

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Les parties A et B peuvent être taitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 10]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 1

On précise que la droite T est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle passe par le point de coordonnées (0 ; 1).

1. Répondre aux deux questions suivantes par lecture graphique :
    a) Donner $f(1)$ et $f'(1)$ en justifiant la valeur de $f'(1)$ .
    b) Lire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle ]0 ; 10].

2. On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = \ln x + \frac{a}{x} + b$ , où a et b désignent deux nombres réels.

    a) Calculer $f'(x)$ .
    b) En utilisant les valeurs trouvées pour $f(1)$ et $f'(1)$ à la question 1, calculer a et b.
    c) En déduire l'expression de $f(x)$ .

Partie B

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par $f(x) = \ln x + \frac{2}{x} - 2$ .

1. a) Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 10]

$f'(x) = \frac{x - 2}{x^2}$

Etudier le signe de $f'(x)$ .
b) On admet que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 est + $\infty$ .
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .
En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle ]0 ; 10].

2. Le nombre 5 est-il vraiment une solution de l'équation $f(x) = 0$ ? 6 points

exercice 2

On admet qu'on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme de ses chiffres par 9.
Par exemple :

8753 = 972 × 9 + 5,	le reste est donc 5.
8 + 7 + 5 + 3 = 23 = 2 × 9 + 5,	le reste est également 5.

Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8.

Exemple :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 2

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 2

Code : s00212913862.
Rang dans l'alphabet de la lettre s : 19.
Nombre obtenu : 1900212913862.
Reste pour ce billet : 8.

1. Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.
    a) Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
    b) Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.
    c) Que peut-on dire de ce billet ?

2. Sur un billet authentique figure le code sO21664481O $x$ , $x$ pour le dernier chiffre illisible. Montrer que $x$ + 42 est congru à 8 modulo 9.
En déduire $x$ .

3. Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
    a) Déterminer les valeurs possibles de n.
    b) Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ? 6 points

exercice 3

Un architecte a commencé le dessin d'un couloir (voir la figure en annexe).
Il a dessiné une large fenêtre rectangulaire sur le mur vertical de droite. Il n'a dessiné qu'une partie du carrelage du sol.
On admet que l'architecte respecte les règles de la perspective à point de fuite. Toutes les constructions sont à faire sur la figure de l'annexe.

1. Citer une règle de la perspective à point de fuite. La vérifier sur la figure (on peut éventuellement effectuer des constructions sur la figure).

2. Sachant que le carrelage est régulier, représenter les 3 premières rangées de 5 carreaux (laisser clairement apparaître les traits de construction ; aucune justification écrite n'est demandée par ailleurs).

3. La fenêtre rectangulaire du mur de droite comporte deux battants de même largeur séparés par une traverse verticale. Au milieu de cette traverse verticale est fixée une poignée. Seul le cadre de la fenêtre est représenté sur le dessin. Compléter la figure en représentant la traverse verticale par un segment et la poignée par un point M.