L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Pondichéry - Session 2006

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures

 Exercice 1 - Commun à tous les candidats (4 points)

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a) à 3. d), sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel , désigne l'image de par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a)	Pour tous les réels a et b :
Affirmation 1. b)	Pour tous les réels a et b :
Affirmation 1. c)	La droite d'équation y = + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.

2. Soit une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a)	Si est dérivable en a, alors est continue en a.
Affirmation 2. b )	Si est continue en a, alors est dérivable en a.
Affirmation 2. c)	Si est dérivable en a, alors la fonction h admet une limite finie en 0.

3. On considère deux suites (u_n) et (v_n) définies sur .

Affirmation 3. a)	Si lim un = + et si lim vn = -, alors lim (un + vn) = 0.
Affirmation 3. b )	Si (un) converge vers un réel non nul et si lim vn = +, alors la suite (un × vn) ne converge pas.
Affirmation 3. c)	Si (un) converge vers un réel non nul, si (vn) est positive et si lim vn = 0, alors la suite ne converge pas.
Affirmation 3. d)	Si (un) et (vn) convergent, alors la suite converge.

 Exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité (5 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct . On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, z_n+1 = z_n. On note A_n le point du plan d'affixe z_n.

1. Calculer z₁, z₂, z₃, z₄ et vérifier que z₄ est un nombre réel.
Placer les points A₀, A₁, A₂, A₃ et A₄ sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose u_n = |z_n|.
Justifier que la suite (u_n) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

.

3. A partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a) Etablir que, pour tout entier naturel n, .
En déduire la nature du triangle OA_nA_n+1.
    b) Pour tout entier naturel n, on note L_n la longueur de la ligne brisée A₀A₁A₂...A_n-1A_n.
On a ainsi : L_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n.
Exprimer L_n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (L_n) ?

 Exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ). On prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par : z' = z + 1.

1. Justifier que est une similitude directe dont on précisera le centre (d'affixe ), le rapport k et l'angle .

2. On note A₀ le point O et, pour tout entier naturel n, on pose A_n+1 = (A_n).
    a) Déterminer les affixes des points A₁, A₂ et A₃ puis placer les points A₀, A₁, A₂ et A₃.
    b) Pour tout entier naturel n, on pose u_n = . Justifier que la suite (u_n) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, u_n = .
    c) A partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre et de rayon 0,1 ?

3. a) Quelle est la nature du triangle A₀A₁ ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle A_nA_n+1.
    b) Pour tout entier naturel n, on note L_n la longueur de la ligne brisée A₀A₁A₂...A_n-1A_n.
On a ainsi : L_n = A₀A₁ + A₁A₂ + ... + A_n-1A_n.
Exprimer L_n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (L_n) ?

 Exercice 3 - Commun à tous les candidats (4 poins)

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; ).

Partie A

(Cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Soit a, b, c et d des réels tels que (a, b, c) (0, 0, 0).
Soit P le plan d'équation .
On considère le point I de coordonnées et le vecteur de coordonnées (a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à .

1. Soit la droite passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer, en fonction de a, b, c, , un système d'équations paramétriques de .

2. On note H le point d'intersection de et P.
    a) Justifier qu'il existe un réel k tel que .
    b) Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, d, .
    c) En déduire que IH = .

Partie B

Le plan Q d'équation est tangent à une sphère S de centre de coordonnées (1, -1, 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S.
2. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite passant par et orthogonale au plan Q.
3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du plan Q.

 Exercice 4 - Commun à tous les candidats (7 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction du temps (exprimé en années à partir de l'origine 2000).

D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction est dérivable, strictement positive sur [0; +[, et satisfait l'équation différentielle :

(E) y' = -y(3 - ln y)

1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction , dérivable, strictement positive sur [0; +[, vérifie, pour tout t de [0; +[, si et seulement si la fonction g = ln() vérifie, pour tout t de [0; +[, g'(t) = .

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle :

(H) .

3. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; +[ :

.
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle ).

4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction définie par :

.
    a) Déterminer la limite de la fonction en +.
    b) Déterminer le sens de variation de sur [0, +[.
    c) Résoudre dans [0, +[ l'inéquation .
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Partie B

En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : " La population testée comporte 50% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas".

On note M l'événement " l'animal est malade ", l'événement contraire et T l'événement " le test est positif".

1. Déterminer P(M), P_M(T), .
2. En déduire P(T).
3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

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