L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Polynésie Française - Session Septembre 2006

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures

 Exercice 1 (4 points)

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On pose , et . On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c.
Soit M un point d'affixe z du plan, distinct des points A et B.
      a) Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
      b) Donner une interpréatation géométrique de l'argument du nombre complexe .
      c) Déterminer alors l'ensemble des points M d'affixe z tels que soit un nombre réel strictement négatif.

2. Soit le cercle circonscrit au triangle ABC et le point d'affixe .
      a) Donner l'écriture complexe de la rotation r de centre et d'angle .
      b) Déterminer l'image de par la rotation r. Déterminer une équation paramétrique de .

 Exercice 2 (4 points)

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d'une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l'issue des trois tirages. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
      a) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
      b) Calculer
      c) On se propose de déterminer maintenant
Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à
En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer

2. On reprend l'urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d'une boule dans l'urne selon la même procédure : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne.
Soit k un entier compris entre 1 et n.
Soit N l'évènement : "la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches".
Soit A l'évènement : "on obtient une boule blanche dans chacun des k - 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième"
Soit B l'évènement : "on obtient une boule blanche dans chacun des (n - k) derniers tirages".
Calculer , et .

 Exercice 3 (7 points)

1. Soit la fonction définie sur par :
      a) Déterminer les limites de en et en .
      b) Calculer et montrer que
      c) Dresser le tableau de variations de .
      d) Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm)

2. Pour , on pose
      a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer .
      b) On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, .
Déterminer et .
      c) Soit l'aire, exprimée en cm², du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation et . Calculer .

3. Soit u une fonction définie et dérivable sur .
On définit la fonction v sur par .
      a) On suppose que u est croissante sur l'intervalle [a ; b] (où 0 < a < b). Déterminer le sens de variations de v sur .
      b) On définit maintenant la fonction g par où est la fonction définie dans la question 1. Déterminer les limites de g en 0 et en .
      c) Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle .

 Exercice 4 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormal .
Soit le plan d'équation cartésienne et le plan d'équation cartésienne .

1. Montrer que et sont perpendiculaires.
On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l'un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l'autre.

2. Soit (D) la droite d'intersection des plans et . Montrer qu'une représentation paramétrique de (D) est :

3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées (-9 ; -4 ; -1).
      a) Vérifier que A n'appartient ni à ni à .
      b) Exprimer AM² en fonction de t.
      c) Soit la fonction définie sur par .
Etudier les variations de .
Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale ?
Dans la suite, on désignera ce point par I.
Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.
      a) Déterminer une équation de (Q).
      b) Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).

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