Fiche de mathématiques

Bac 2006

Baccalauréat Général
Série Scientifique
Amérique du Sud - Session Novembre 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , ,on considère les points :
A de coordonnées (3 ; 1 ; -5), B de coordonnées (0 ; 4 ; -5), C de coordonnées (-1 ; 2 ; -5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).

Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention «VRAI» ou «FAUX». On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse incorrecte.
L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Les points A, B et D sont alignés.

2. La droite (AB) est contenue dans le plan d'équation cartésienne : $x + y = 4$ .

3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z + 11 = 0$ .

4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.

5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).

6. Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : $\left\lbrace\begin{array}{l} x=1-2k \\ y=\dfrac{7}{2}+k \\ z=-\dfrac{1}{2}-9k \end{array}\right.$ , $k \in \mathbb{R}$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . On prendra pour unité graphique 1 cm.

1. Question de cours

On rappelle que : «Pour tout vecteur $\vec{w}$ non nul, d'affixe $z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et arg $(z) = \left(\vec{u}, \vec{w}\right)$ ».

Soient $M$ , $N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m$ , $n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$ .
    a) Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) = \left(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}\right)$ .
    b) Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$

2. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad z_{\text{C}} = 5\text{i} \quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = -3 -\text{i}$ . Placer ces points sur une figure.

3. Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}$ .
    a) Préciser les images des points A et B par $f$ .
    b) Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$ , dont on précisera l'affixe $\omega$ .

4. a) Montrer que pour tout nombre complexe $z$ , on a : $z'-z = -2\text{i}(2 - \text{i} - z)$ .
    b) En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$ , la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{M\Omega}, \overrightarrow{MM'}\right)$
    c) Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ?
    d) Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ . Écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E' associé au point E.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Rappel :

Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ , on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a \equiv b \quad \mod 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a = b + 7k$ .

1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
    a) Soient $a, b, c$ et $d$ des entiers relatifs.
Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv bd \mod 7$ .
    b) En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls
si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n$ , $a^n \equiv b^n \mod 7$ .

2. Pour $a = 2$ puis pour $a = 3$ , déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv 1 \mod 7$ .

3. Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7.
    a) Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$ .
    b) On appelle ordre de $a \mod 7$ , et on désigne par $k$ , le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$ . Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de 6 par $k$ vérifie $a^r \equiv 1 \mod 7$ .
En déduire que $k$ divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ?
    c) Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre 2 et 6.

4. À tout entier naturel $n$ , on associe le nombre $A_{n} = 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n$ . Montrer que $A_{2006} \equiv 6 \mod 7$ .

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.
La probabilité pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{4}$ .
La probabilité pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{2}$ .
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.
Soit $n$ un entier naturel vérifiant $0 \le n \le 50$ .
On définit les évènements suivants :

A : «le jardinier a choisi le lot 1»

B : «le jardinier a choisi le lot 2»

$J_{n}$ : «le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes».

1. Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.
    a) Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?
    b) Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ?
    c) Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes,
    d) Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat.

2. Probabilités conditionnelles
    a) Montrer que : $P_{\text{B}}\left(J_{n}\right) = \binom{50}{n}2^{-50}$ .
    b) En déduire la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes.
    c) On note $p_{n}$ la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que $J_{n}$ est réalisé. établir que : $p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}$ .
    d) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \ge 0,9$ ?
Comment peut-on interpréter ce résultat ?

8 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1$ .
    a) Déterminer les limites de $f_{n}$ en 0 et en $+\infty$ puis étudier le sens de variations de $f_{n}$ .
    b) Montrer que l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans ]0 ; + $\infty$ [. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient à l'intervalle [1 ; e].

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ . On note ( $\Gamma$ ) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
    a) Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonnées $(n ; 0)$ .
    b) Faire un croquis représentant la courbe ( $\Gamma$ ) et les droites $\Delta_{1}$ , $\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$ .
    c) Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ( $\Gamma$ ) avec $\Delta_{n}$ .
    d) Préciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ .

3. a) Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ .
    b) Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et vérifier que : $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$ .
    c) Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ .
    d) Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. Établir que : $\ln \ell = 1$ et en déduire la valeur de $\ell$ .

4. On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine délimité par la courbe ( $\Gamma$ ), l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x = \alpha_{n}$ et $x = \text{e}$ .
    a) Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ en fonction de $\alpha_{n}$ et montrer que cette aire est égaie à $\dfrac{\alpha_{n}^2}{n}$ .
    b) Établir que : $\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \le \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \le \left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ .
    c) En déduire un encadrement de $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ .
    d) La suite de terme général $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ ?

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