Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Antilles-Guyane - Session 2006

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Une maladie atteint 3 % d'une population de 30 000 habitants. On soumet cette population à un test.

parmi les bien portants, 2 % ont un test positif ;

parmi les individus malades, 49 ont un test négatif.

1. Reproduire puis compléter le tableau suivant :

	Malades	Bien portants	Total
Test positif
Test négatif
Total			30 000

Dans les questions suivantes, les résultats numériques demandés seront donnés à 10^-3 près.

2. On choisit au hasard un individu de cette population. On considère les événements T et M suivants :

T : « le test est positif pour l'individu choisi » ;

M : « l'individu choisi est malade ».

    a) Calculer la probabilité de chacun des événements T et M.
    b) Définir par une phrase l'événement $\bar{\text{T}}$ et calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase chacun des événements M $\cup$ T et $\bar{\text{M}} \cap \text{T}$ .
    d) Calculer les probabilités des événements M $\cup$ T et $\bar{\text{M}} \cap \text{T}$ .

3. On décide d'hospitaliser tous les individus qui ont un test positif. On choisit au hasard un individu hospitalisé. Quelle est la probabilité qu’il soit bien portant ?

12 points

probleme

Partie A : Etude et représentation graphique d'une fonction

On appelle $f$ la fonction numérique de variable réelle définie sur [0 ; 5] par $f$ (t) = te^{2 - t}.

1. Calculer $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = (1 - t)e^{2 - t}$ .

2. a) Etudier le signe de $f'(t)$ sur [0 ; 5].
b) Dresser le tableau de variation de $f$ (dans ce tableau ne figureront que des valeurs exactes).

3. Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront données sous forme décimale arrondie à 0,01 près) :

t	0	1	2	3	4	5
$f$ (t)				1,10

4. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormé d'unité 3 centimètres.

Partie B : Application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps

A l'instant t = 0, un malade absorbe un médicament. On admet que la concentration de celui-ci dans le sang, exprimée en mg.L^-1, en fonction du temps t exprimé en heures est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A.

1. A quel instant la concentration du médicament est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ? (donner sa valeur exacte puis son approximation décimale à 0,01 mg.L^-1 près).

2. Dans cette question, on fera apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.
a) Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L^-1.
b) Déterminer graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L^-1.

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