L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (options A et F) - Génie Energétique - Génie Civil
Polynésie Française

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les 2 exercices.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures

 Exercice 1 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct , unité graphique : 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .

1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P(z) = z³ - 4z² + 8z - 8.
    a) Démontrer que, pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4)
    b) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation P(z) = 0.

2. On note A, B, C, les points d'affixes respectives : a = 2; b = 1 + i ; c = 1 - i.
    a) Déterminer le module et un argument de a, b, c.
    b) En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
    c) Placer les points A, B et C en laissant visibles les traits de construction.
    d) Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.

3. On pose d = a + b et on note D le point d'affixe d.
    a) Construire le point D dans le repère .
    b) Démontrer que A est le milieu du segment [CD].
    c) Ecrire d sous forme exponentielle.
    d) Démontrer que OCD est un triangle rectangle.

 Exercice 2 (5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal .

Partie A : Calcul d'une primitive

On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par .

1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout appartenant à l'intervalle [0 ; 2],

2. En déduire une primitive de g sur l'intervalle [0 ; 2].

Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène

On note la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2 ] par :
On considère une plaque homogène formée par l'ensemble des points M( ; y) du plan dont les coordonnées vérifient les relations : (voir schéma ci-dessous).

1. Soit S l'aire de la plaque exprimée en unité d'aire. Démontrer que S = ln 3.

2. Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées (X ; Y) de G sont données par les formules suivantes :
et
    a) Calculer la valeur exacte de X, puis une valeur approchée arrondie au centième.
    b) Calculer la valeur exacte de Y, puis une valeur approchée arrondie au centième.

 Problème (10 points)

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (1) : y ' + y = 2, dans laquelle y déigne une fonction inconnue de la variable , dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

1. Résoudre l'équation différentielle (2) : y' + y = 0.

2. Soit la fonction h définie sur par . vérifier que h est solution de l'équation (1).

3. On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme g + h, où g désigne une solution de l'équation (2).
    a) Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
    b) Déterminer la solution de l'équation (1) vérifiant la condition initiale .

Partie B : Etude d'une fonction exponentielle

On note la fonction définie pour tout réel par : . On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal . Unités graphiques : 1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

1. Etude des limites
    a) Déterminer la limite de en -.
    b) En écrivant, pour tout réel , , déterminer la limite de en +.
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe ?

2. Etude des variations de f
    a) Calculer la fonction dérivée de la fonction , puis démontrer que, pour tout réel est du signe de (-2 + 3).
    b) Dresser le tableau de variation de la fonction .

3. Représentations graphiques
    a) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
    b) Déterminer une équation de chacune des tangentes (T) et (T ') à la courbe aux points d'abscisses et .
    c) Tracer (T), (T ') et la courbe dans le repère .

Partie C : Détermination d'une primitive

1. Vérifier que, pour tout réel , .

2. En déduire une primitive de la fonction sur .

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