exercice 1
1. Montants du SMIC mensuel :
pour l'année 1997 :
pour l'année 1998 :
pour l'année 1999 :
pour l'année 2000 :
Année |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
Rang de l'année : |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Montant du SMIC en francs |
6663,67 |
6797,18 |
6881,68 |
7101,38 |
|
|
|
|
Montant du SMIC en euros : y |
1016 |
1036 |
1049 |
1083 |
1127 |
1154 |
1215 |
1286 |
2.
3. Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage :
D'où : G(3,5; 1 120,75)
4. a) Déterminons l'équation réduite de la droite :
L'équation de la droite est de la forme y = a
+ b.
On sait que son coefficient directeur est égal à 37,5, donc y = 37,5
+ b.
De plus, la droite
passe par le point G de coordonnées (3,5; 1120,75).
Donc : y
G = 37,5
+ b, c'est-à-dire :
1120,75 = 37,5 × 3,5 + b
b = 1120,75 - 131,25 = 989,5
D'où : l'équation réduite de la droite
est y = 37,5
+ 989,5.
4. b) cf graphique
4. c) Estimation graphique du SMIC mensuel pour l'année 2006 :
cf graphique (pointillés rouges)
En 2006, on estime que le SMIC sera de 1327 €.
4. d) Estimation par le calcul du SMIC mensuel pour l'année 2006 :
Le rang de l'année 2006 est
= 9.
On a alors : y = 37,5 × 9 + 989,5 = 1327.
En 2006, on estime que le SMIC mensuel sera de 1327 € (on a retrouvé le résultat de la question précédente).
exercice 2
1. Pour tous réels a et b, on a : e
a + b = e
a e
b
Réponse B
2. u
n = u
0q
n =
Réponse A
3. h(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 2x + 1 et v(x) = e
-2x
On a : u'(x) = 2 et v'(x) = -2e
-2x
Rappel :
(uv)' = u'v + uv'
Donc : h'(x) = 2e
-2x + (2x + 1)(-2e
-2x) = 2(1 - 2x - 1)e
-2x = -4xe
-2x
Réponse B
4. On a :
p(E
F) = p(E) + p(F) - p(E
) = 0,2 + 0,4 - 0,15 = 0,45
Réponse C
Problème
Partie A
1. Dérivons la fonction g :
g est dérivable sur ]0;
[, et pour tout
de l'intervalle ]0;
[, on a :
2. Etudions le signe de g'() :
Pour tout
de ]0;
[,
Pour tout
de ]0;
[,
Donc g'(
) est du signe de (
- 1) sur ]0;
[.
D'où : g'(
) < 0 si
,
g'(
) = 0 si
= 1,
g'(
) > 0 si
.
Tableau de variations de g'() :
De ce qui précède, on en déduit que g est décroissante sur ]0; 1] et croissante sur [1; +
[.
g(1) = 1² + 3 - 2 ln 1 = 4
3. Signe de g sur ]0; [ :
g est continue sur ]0;
[ et admet un minimumu en 1 qui vaut 4.
Donc : pour tout
, g
4.
D'où : g est strictement positive sur ]0;
[.
Partie B
1. On admet que
On en déduit que la droite d'équation
= 0 est asymptote verticale à la courbe
.
2. Déterminons la limite de f en :
3. a) Dérivons la fonction f :
f est dérivable sur ]0;
[ et on a :
D'où : pour tout <
de ]0;
[,
3. b) Signe de f'() :
Pour tout
de ]0;
[,
, donc sur ]0;
[,
est du signe de g(
).
Or, on a montré (Partie A. 3.) que pour tout
de ]0;
[, g(
) > 0.
D'où : pour tout
de ]0;
.
On en déduit que
est strictement croissante sur ]0;
[.
4. Tableau de variations de f :
5. Démontrons que la droite d'équation y = est asymptote à au voisinage de :
Pour tout
de ]0; +
[,
Or,
Donc
D'où : la droite
est asymptote à
au voisinage de +
.
6.
|
0,75 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
-1,4 |
0 |
2,2 |
3,4 |
4,4 |
5,4 |
6,4 |
7,4 |
7.
Partie C
1. Montrons que la fonction F définie sur ]0; [ est une primitive de la fonction f :
Pour tout
de l'intervalle ]0; +
[, on a :
D'où : F est une primitive de f sur ]0;
[.
2. Valeur exacte de l'intégrale I :
3. Interprétation graphique de I :
représente l'aire de la surface comprise entre lesdroites d'équation
, l'axe des abscisses et la courbe d'équation y =
.