Fiche de mathématiques

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Bac Sciences et Technologies Tertiaires
Session 2006 - Polynésie Française

Action et Communication Administratives - Action et Communication Commerciales
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

9 points

exercice 1 -

Dans un lycée de 1 200 élèves, chaque élève étudie, comme première langue, l'allemand, l'anglais ou l'espagnol. Les élèves sont internes, externes ou demi-pensionnaires.
La répartition de l'ensemble des élèves est la suivante :
    15% étudient l'allemand en première langue et, parmi ceux-là, le tiers est demi-pensionnaire;
    75% étudient l'anglais en première langue et, parmi eux, 16% sont internes;
    parmi les élèves étudiant l'espagnol en première langue, aucun n'est interne et 20 sont externes.

1. Compléter le tableau suivant :

	Nombre d'externes	Nombre de demi-pensionnaires	Nombre d'internes	Total
ALLEMAND
ANGLAIS	216
ESPAGNOL
Total	300			1 200

2. Dans cette question et les suivantes, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
On prend, au hasard, un élève parmi les 1 200 élèves du lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les événements suivants :
    A : " l'élève est demi-pensionnaire " ;
    B : " l'élève apprend l'anglais comme première langue vivante " ;
    C : " l'élève apprend l'espagnol ou l'allemand comme première langue vivante ".
    a) Déterminer la probabilité de chacun des événements A, B et C.
    b) Décrire, à l'aide d'une phrase, l'événement A $\cap$ B. Calculer la probabilité de cet événement.
    c) Déduire des questions précédentes, la probabilité de l'événement A $\cup$ B.

3. On choisit au hasard un élève parmi les externes. Calculer alors la probabilité pour que cet élève apprenne l'espagnol comme première langue vivante.

4. Sachant qu'un élève choisi apprend l'allemand comme première langue vivante, quelle est la probabilité pour qu'il soit externe ? 11 points

exercice 2 -

Une entreprise fabrique et commercialise un produit. Sa capacité de production, sur un mois, lui permet de réaliser entre 0 et 13 tonnes de ce produit. On désigne par $x$ le nombre de tonnes de produit fabriqué par l'entreprise en un mois.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : $C(x) = x^3 - 15x^2 + 75x$ .
Cette entreprise vend l'intégralité de ce qu'elle produit au prix de 36,75 milliers d'euros la tonne.
La recette, pour $x$ tonnes produites, est notée $R(x)$ , exprimée en milliers d'euros.
On donne en annexe la représentation graphique $\mathscr{C}$ de la fonction C sur l'intervalle [0 ; 13].
Unités graphiques : 1 cm pour 1 tonne en abscisse et 2 cm pour 100 milliers d'euros en ordonnée.

PARTIE A :

1. Calculer la recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes puis de 10 tonnes.

2. Donner l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$ et représenter la fonction R dans le repère donné en annexe.

3. Dans cette question, les tracés nécessaires aux déterminations graphiques devront figurer sur le schéma.
a) Déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenir $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
b) Déterminer graphiquement un intervalle de longueur 1 dans lequel se situe la valeur de $x$ permettant d'obtenir un bénéfice maximum.

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de déterminer plus précisément cette valeur de $x$ permettant d'obtenir un bénéfice maximum (cf. question 3. b) précédente).

1. On désigne par $B(x)$ le bénéfice réalisé pour $x$ appartenant à l'intervalle [5 ; 10].
Montrer que $B(x) = -x^3 + 15x^2 - 38,25x$ .

2. Calculer $B'(x)$ où B' désigne la dérivée de la fonction B.
Montrer que $B'(x) = 3(x - 1,5)(8,5 - x)$ .

3. Préciser le signe de $B'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [5 ; 10] et dresser le tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.

4. Quelle est la valeur de $x$ qui assure un bénéfice maximum ? Quelle est alors la valeur de ce maximum en milliers d'euros ?

Bac 2006 - STT ACA ACC - Polynésie Française - terminale : image 1

Annexe

Voir la correction

exercice 1

1. "15% étudient l'allemand en première langue". Le nombre total d'élèves étudiant l'allemand en première langue est donc : $\frac{15}{100} \times 1200 =$ 180.
"et, parmi ceux-là, le tiers est demi-pensionnaire". Le nombre de demi-pensionnaires étudiant l'allemand en première langue est donc : $\frac{1}{3} \times 180$ = 60.
"75% étudient l'anglais en première langue". Le nombre total d'élèves étudiant l'anglais en première langue est donc : $\frac{75}{100} \times 1200 =$ 900.
"et, parmi eux, 16% sont internes". Le nombre d'internes étudiant l'anglais en première langue est donc : $\frac{16}{100} \times 900 =$ 144.
Or 216 élèves apprenant l'anglais sont externes, donc 900 - 216 - 144 = 540 sont demi-pensionnaires.
On peut alors compléter le nombre d'élèves apprenant l'espagnol : 1200 - 900 - 180 = 120.
Parmi ces 120, aucun n'est interne et 20 sont externes, donc 120 - 20 = 100 sont demi-pensionnaires.
Soit un total de demi-pensionnaires de 60 + 540 + 100 = 720 et d'internes de 1200 - 300 - 720 = 180.
Donc, les externes apprenant l'allemand sont au nombre de 300 - 216 - 20 = 64 et les internes 180 - 60 - 64 = 56 (ou 200 - 144 = 56)

	Nombre d'externes	Nombre de demi-pensionnaires	Nombre d'internes	Total
ALLEMAND	64	60	56	180
ANGLAIS	216	540	144	900
ESPAGNOL	20	100	0	120
Total	300	700	200	1 200

2. a) Sur les 1200 élèves, 700 sont demi-pensionnaires, donc : $p(A) = \frac{700}{1200} = \frac{7}{12}(=58,33\%)$
Sur les 1200 élèves, 900 apprennent l'anglais comme première langue, donc : $p(B) = \frac{900}{1200} = \frac{3}{4}(=75\%)$
Sur les 1200 élèves, 180 + 120 = 300 apprennent l'allemand ou l'espagnol comme première langue, donc : $p(C) = \frac{300}{1200} = \frac{1}{4} (=25\%)$

2. b) $A\cap B$ : "l'élève est demi-pensionnaire ET apprend l'anglais comme première langue", donc : $p(A\cap B) = \frac{540}{1200} = \frac{9}{20}(=45\%)$

2. c) On utilise la formule : $p(A\cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B)$ , donc :
$p(A\cup B) = \frac{7}{12} + \frac{3}{4} - \frac{9}{20} = \frac{70+90-54}{120} = \frac{106}{120} = \frac{53}{60} (=88,33\%)$

3. Sur les 300 élèves externes, 20 apprennent l'espagnol come première langue, donc : $p = \frac{20}{300} = \frac{1}{15}$

4. Sur les 180 élèves apprenant l'allemand, 56 sont externes, donc la probabilité qu'un élève apprenant l'allemand soit externe est de : $\frac{56}{180} = \frac{14}{45} (=31,11\%)$

exercice 2

Partie A

1. Pour 3 tonnes de produit vendues au prix unitaire de 36,75 milliers d'euros par tonne, la recette s'élève à : $R(3) = 36,75 \times 3 = 110,25$ milliers d'euros.
Pour 10 tonnes de produit vendues, la recette s'élève à : $R(10) = 36,75 \times 10 = 367,5$ milliers d'euros.

2. Pour $x$ tonnes de produit vendues au prix unitaire, la recette s'élève à : $R(x) = 36,75x$

3. a) L'entreprise réalise un bénéfice si $R(x) > C(x)$ donc si la droite représentative de R est au-dessus de la courbe C.

Bac 2006 - STT ACA ACC - Polynésie Française - terminale : image 2

D'après le graphique, cela est le cas pour x compris entre 3,2 et 11,7 tonnes.
$\scr{S}$ = [3,2 ; 11,7]

3. b) Graphiquement, on observe que le bénéfice est maximum pour un $x_0$ appartenant à l'intervalle [8 ; 9]. (le bénéfice est mesuré par l'écart entre la droite et la courbe)

Partie B

1. Le bénéfice est donné par la différence entre la recette et le coût de production :
$B(x) = R(x) - C(x) = 36,75x - (x^3 + 15 x^2 +75 x) = 36,75x -x^3 +15x^2 - 75x = -x^3 + 15x^2 -38,25x$

2. B est dérivable sur [5 ; 10] et $B'(x) = -3x^2 + 15 \times 2x - 38,25 = -3x^2 + 30x -38,25$
Or $3(x-1,5)(8,5-x) = (3x-4,5)(8,5-x) = 25,5x-38,25-3x^2+4,5x = -3x^2+30x-38,25$ , donc :
$B'(x) = 3(x-1,5)(8,5-x)$

3. Sur [5 ; 10], $x \geq 5$ donc $x - 1,5 \geq 5 - 1,5 = 3,5 > 0$
Donc B' est du signe de $8,5 - x$ .
Sur [0 ; 8,5], $x < 8,5$ donc $-x > -8,5$ donc $8,5 - x > 8,5 - 8,5 = 0$ , donc B' est positive.
Sur [8,5 ; 10], $x > 8,5$ donc $-x < -8,5$ donc $8,5 - x < 8,5 - 8,5 = 0$ , donc B' est négative.
Rappel : B est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si B' est positive (respectivement négative), d'où le tableau de variations suivant :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&5&&8,5&&10\\ \hline {B'(x)}& &+&0&-& \\ \hline {B(x)}&&\nearrow&&\searrow&\\ \hline \end{array}$

4. D'après ce tableau de variations, le bénéfice maximal est atteint pour $x = 8,5$ tonnes de produit vendues, et alors ce bénéfice s'élève à :
$B(8,5) = -8,5^3 + 15 \times 8,5^2 - 38,25 \times 8,5 = 144,5$ milliers d'euros.

Publié par Cel/Aurélien le 11-05-2008

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