L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Sciences et Technologies Tertiaires
Session 2006 - Polynésie Française

Action et Communication Administratives - Action et Communication Commerciales
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures

 Exercice 1 - (9 points)

Dans un lycée de 1 200 élèves, chaque élève étudie, comme première langue, l'allemand, l'anglais ou l'espagnol. Les élèves sont internes, externes ou demi-pensionnaires.
La répartition de l'ensemble des élèves est la suivante :
    15% étudient l'allemand en première langue et, parmi ceux-là, le tiers est demi-pensionnaire;
    75% étudient l'anglais en première langue et, parmi eux, 16% sont internes;
    parmi les élèves étudiant l'espagnol en première langue, aucun n'est interne et 20 sont externes.

1. Compléter le tableau suivant :

	Nombre d'externes	Nombre de demi-pensionnaires	Nombre d'internes	Total
ALLEMAND
ANGLAIS	216
ESPAGNOL
Total	300			1 200

2. Dans cette question et les suivantes, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
On prend, au hasard, un élève parmi les 1 200 élèves du lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les événements suivants :
    A : " l'élève est demi-pensionnaire " ;
    B : " l'élève apprend l'anglais comme première langue vivante " ;
    C : " l'élève apprend l'espagnol ou l'allemand comme première langue vivante ".
    a) Déterminer la probabilité de chacun des événements A, B et C.
    b) Décrire, à l'aide d'une phrase, l'événement A B. Calculer la probabilité de cet événement.
    c) Déduire des questions précédentes, la probabilité de l'événement A B.

3. On choisit au hasard un élève parmi les externes. Calculer alors la probabilité pour que cet élève apprenne l'espagnol comme première langue vivante.

4. Sachant qu'un élève choisi apprend l'allemand comme première langue vivante, quelle est la probabilité pour qu'il soit externe ?

 Exercice 2 - (11 points)

Une entreprise fabrique et commercialise un produit. Sa capacité de production, sur un mois, lui permet de réaliser entre 0 et 13 tonnes de ce produit. On désigne par le nombre de tonnes de produit fabriqué par l'entreprise en un mois.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : .
Cette entreprise vend l'intégralité de ce qu'elle produit au prix de 36,75 milliers d'euros la tonne.
La recette, pour tonnes produites, est notée , exprimée en milliers d'euros.
On donne en annexe la représentation graphique de la fonction C sur l'intervalle [0 ; 13].
Unités graphiques : 1 cm pour 1 tonne en abscisse et 2 cm pour 100 milliers d'euros en ordonnée.

PARTIE A :

1. Calculer la recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes puis de 10 tonnes.

2. Donner l'expression de en fonction de et représenter la fonction R dans le repère donné en annexe.

3. Dans cette question, les tracés nécessaires aux déterminations graphiques devront figurer sur le schéma.
    a) Déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenir pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
    b) Déterminer graphiquement un intervalle de longueur 1 dans lequel se situe la valeur de permettant d'obtenir un bénéfice maximum.

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de déterminer plus précisément cette valeur de permettant d'obtenir un bénéfice maximum (cf. question 3. b) précédente).

1. On désigne par le bénéfice réalisé pour appartenant à l'intervalle [5 ; 10].
Montrer que .

2. Calculer où B' désigne la dérivée de la fonction B.
Montrer que .

3. Préciser le signe de pour appartenant à l'intervalle [5 ; 10] et dresser le tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.

4. Quelle est la valeur de qui assure un bénéfice maximum ? Quelle est alors la valeur de ce maximum en milliers d'euros ?

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