L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Economique et Social
Amérique du Nord - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (4 points) - Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.
Une bonne réponse apporte 1 point, une mauvaise enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

Rappel : La notation p_A(B) désigne la probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé.

Questions
1. A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,7 et p(B) = 0,2.	p(A B) = 0,14
	p(A B) = 0,9
	pA(B) = 0,5
2. Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à . On lance 4 fois de suite cette pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?
3. On considère l'arbre pondéré ci-dessous. Quelle est la probabilité de PH(F) ?	PH(F) = 0,7
	PH(F) = 0,56
	PH(F) = 0,875
4. Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, n fois de suite (avec n > 1). Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?

 Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La courbe (C) ci-dessous représente une fonction F définie et dérivable sur l'intervalle J = .
On sait que (C) coupe l'axe des abscisses au point (3 ; 0) et a une tangente horizontale au point (1 ; -2).
On note la fonction dérivée de F.

1. a) A l'aide du graphique, donner les variations de F et en déduire le signe de .
   b) Donner , F(1) et F(3). Préciser le signe de .
   c) Calculer .

2. Trois fonctions sont définies sur l'intervalle J par :
.
Une de ces trois fonctions est la fonction .
   a) Etudier le signe de sur l'intervalle J.
   b) Résoudre l'équation sur l'intervalle J.
   c) Calculer .
   d) Calculer .
   e) En déduire la fonction .

 Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Première Partie : Etude d'un graphe

On considère le graphe ci-dessus.

1. a) Ce graphe est-il connexe ?
   b) Déterminer le degré de chacun des sommets.
on pourra donner le résultat sous forme de tableau.
   c) Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne/

2. a) Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
   b) Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.

Deuxième Partie : Visite d'un musée

Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent termiiner leur visite à la boutique.

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets.

2. a) Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ?
   b) Donner un exemple d'un tel circuit.

3. Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que 2 salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?

 Exercice 3 (5 points) - Commun à tous les cadidats

Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.
Les résultats seront arrondis à 10^-3.
On rappelle que l'image d'un réel par la fonction exponentielle peut être notée

On veut étudier l'évolution des records de lépreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.
On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.

Année	1900	1912	1921	1930	1964	1983	1991	1999
Rang de l'année,	0	12	21	30	64	83	91	99
Temps en seconde, yi	10,80	10,60	10,40	10,30	10,06	9,93	9,86	9,79

1. Etude d'un modèle affine
   a) Construire le nuage de points M_i( ; yi), avec i compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1 cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de secondes en ordonnées.
On comencera ls graduations au point de coordonnées (0 ; 9).
   b) Peut-on envisager un ajutement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?

2. Etude 'un modèle exponentiel Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe.
On effectue les changements de variables suivants :
X = et Y = ln y.
On obtient le tableau suivant :

Xi =	1	0,895	0,824	0,758	0,554	0,464	0,431	0,401
Yi = ln yi	2,380	2,361	2,342	2,332	2,309	2,296	2,288	2,281

   a) Donner une équation de la droite de régrssion de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.
   b) En déduire que l'on peut modéliser une expression de y en fonction de sous la forme suivante : où a et b sont deux réels à déterminer.
   c) A l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?
   d) Calculer la limite en de la fonction définie sur par l'expression suivante :
   e) Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, à très long terme ?

 Exercice 4 (6 points) - Commun à tous les candidats

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

PREMIERE PARTIE
On considère une fonction g définie sur l'intervalle par : , où a et b sopnt deux réels.
Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d'un repère passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse .

DEUXIEME PARTIE
Soit la fonction définie sur l'intervalle par : .
On admet que est dérivable et on note sa dérivée.
Le tableau de variation de la fonction est le suivant :

1. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.

2. a) montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
   b) Donner un encadrement de d'amplitude 10^-2.

3. Déterminer le signe de sur l'intervalle .

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