Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
L'usage d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points exercice 1 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n 'enlève aucun point.
1. Voici la courbe représentative d'une fonction

sur l'intervalle [0 ; 6[.
Sur l'intervalle [0 ; 6[ , la fonction composée


![\ln\left[f(x)\right]](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?\ln\left[f(x)\right])
:

est strictement croissante.

a les mêmes variations que

.

a les variations contraires de celles de

.
2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +

[ par
 = 4x - 2 \ln x)
.
Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de

au point d'abscisse 1 est :

.

.

.
3. L'ensemble des solutions de l'équation
)
est :

l'ensemble vide.

.

.
5 points exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites on relève que :

la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ;

27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
| | Magie | Théâtre | Photo numérique | Total |
| Adultes | | | | |
| Enfants | | | | |
| Total | | | | 150 |
On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :

A l'événement "la personne appelée est un adulte" ;

M l'événement "la personne appelée a choisi la magie" ;

T l'événement "la personne appelée a choisi le théâtre" ;

N l'événement "la personne appelée a choisi la photo numérique".
2. a) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
b) Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?
c) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?
3. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
4. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
5. On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.
Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie
(on donnera une valeur arrondie au centième) ?
5 points exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives

et

exprimées en tonnes.
Le coût total de production

, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation

avec
![x\in[0;6]](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?x\in[0;6])
et
![y\in[0;8]](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?y\in[0;8])
.
1. La surface S représentant le coût en fonction de

et de

dans un repère orthogonal (0 ;

,

,

) est donnée ci-dessous :
Figure 1
a) Le point A(3 ; 2 ; 3) appartient-il à la surface S ? Justifier.
b) Placer, sur la figure 1, le point B d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à S.
c) Soit

. Exprimer alors

sous la forme
)
puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d'équation

en justifiant.
2. La fabrication de

tonnes de savons et de

tonnes de bougies parfumées engendre la contrainte :

.
a) Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient

?
b) Vérifier que, sous la contrainte

,

peut s'écrire sous la forme
)
avec
 = 3x^2 - 12x + 13)
.
c) Déterminer la valeur de

pour laquelle

admet un minimum puis la valeur de

et le coût de production

qui correspondent.
On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût mininimum
d) On donne sur la figure 2, la projection orthogonale de la surface S sur le plan
)
("vue de dessus de la surface S").
Figure 2
Construire sur cette figure 2, la projection orthogonale sur le plan
)
des points dont les coordonnées vérifient

.
Placer sur cette figure 2 le point C
1, projeté orthogonal du point C sur le plan
)
.
5 points exercice 3 - Commun à tous les candidats
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.
| Année | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
Rang de l'année
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Montant des ventes
 | 179 | 332 | 584 | 1 092 | 2 675 | 4 164 |
1. Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.
Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.
2. La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose :
)
.
a) Présenter la série statistique
)
dans un tableau en arrondissant les valeurs de

au centième.
b) Donner une équation de la droite d'ajustement affine de

en

par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
c) En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.
3. Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10% en 2006.
a) Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
b) En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ?
(On arrondira le montant au millier d'euros)
7 points exercice 4 - Commun à tous les candidats
Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de

centaines d'appareils par la fonction

définie sur l'intervalle ]0 ; +

[ par :
 = -2x + (e^2 - 1)\ln x + 2)
.
La courbe de la fonction

est donnée sur la figure ci-dessous :
Figure 3
1. Vérifier par le calcul que
 = 0)
et
 = 0)
.
2. A l'aide du graphique, déterminer approximativement :
a) le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;
b) les valeurs de

pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul.
3. a) Déterminer la dérivée

de la fonction

sur l'intervalle ] 0 ; +

[.
b) Etudier le signe de
)
et en déduire le sens de variation de la fonction

.
c) En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal
(le résultat sera arrondi à l'unité).
4. Parmi les courbes données ci-dessous, une seule correspond à celle d'une primitive de

. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de
)
).
Courbe de F1
Courbe de F2
Courbe de F3
5. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure 3.
6. a) Démontrer que la fonction

définie sur l'intervalle ] 0 ; +

[ par :
est une primitive de
.
b) Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.