Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Polynésie Française - Session Juin 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'usage d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n 'enlève aucun point.

1. Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6[.

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

Sur l'intervalle [0 ; 6[ , la fonction composée $x$ fleche2

$\ln\left[f(x)\right]$ :
    est strictement croissante.
    a les mêmes variations que $f$ .
    a les variations contraires de celles de $f$ .

2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = 4x - 2 \ln x$ .
Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :
    $y = 2x + 2$ .
    $y = 4x - 2$ .
    $y = 2x + 6$ .

3. L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln(2x + 3)$ est :
    l'ensemble vide.
    $\lbrace -1;3\rbrace$ .
    $\lbrace 3\rbrace$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites on relève que :
la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ;
27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

	Magie	Théâtre	Photo numérique	Total
Adultes
Enfants
Total				150

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :
    A l'événement "la personne appelée est un adulte" ;
    M l'événement "la personne appelée a choisi la magie" ;
    T l'événement "la personne appelée a choisi le théâtre" ;
    N l'événement "la personne appelée a choisi la photo numérique".

2. a) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
    b) Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?
    c) Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?

3. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.

4. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.

5. On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.
Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (on donnera une valeur arrondie au centième) ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.
Le coût total de production $z$ , exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation $z = 2x^2 - 8x + y^2 - 6y + 18$ avec $x\in[0;6]$ et $y\in[0;8]$ .

1. La surface S représentant le coût en fonction de $x$ et de $y$ dans un repère orthogonal (0 ; $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ ) est donnée ci-dessous :

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

Figure 1

    a) Le point A(3 ; 2 ; 3) appartient-il à la surface S ? Justifier.
    b) Placer, sur la figure 1, le point B d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à S.
    c) Soit $y = 2$ . Exprimer alors $z$ sous la forme $z = f(x)$ puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d'équation $y = 2$ en justifiant.

2. La fabrication de $x$ tonnes de savons et de $y$ tonnes de bougies parfumées engendre la contrainte : $x + y = 5$ .
    a) Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ ?
    b) Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 5$ , $z$ peut s'écrire sous la forme $z = g(x)$ avec $g(x) = 3x^2 - 12x + 13$ .
    c) Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$ admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$ qui correspondent.
On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût mininimum
    d) On donne sur la figure 2, la projection orthogonale de la surface S sur le plan $(xOy)$ ("vue de dessus de la surface S").

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 3

Figure 2

Construire sur cette figure 2, la projection orthogonale sur le plan $(xOy)$ des points dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ .
Placer sur cette figure 2 le point C₁, projeté orthogonal du point C sur le plan $(xOy)$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5	6
Montant des ventes $y_i$	179	332	584	1 092	2 675	4 164

1. Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.
Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.

2. La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : $z_i = \ln(y_i)$ .
    a) Présenter la série statistique $(x_i;z_i)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_i$ au centième.
    b) Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
    c) En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.

3. Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10% en 2006.
    a) Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
    b) En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d'euros)

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ centaines d'appareils par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = -2x + (e^2 - 1)\ln x + 2$ .
La courbe de la fonction $f$ est donnée sur la figure ci-dessous :

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 4

Figure 3

1. Vérifier par le calcul que $f(1) = 0$ et $f(e^2) = 0$ .

2. A l'aide du graphique, déterminer approximativement :
    a) le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;
    b) les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul.

3. a) Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [.
    b) Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ .
    c) En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité).

4. Parmi les courbes données ci-dessous, une seule correspond à celle d'une primitive de $f$ . Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f(x)$ ).

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 5

Courbe de F₁

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 6

Courbe de F₂

bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française 2007 - terminale : image 7

Courbe de F₃

5. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure 3.

6. a) Démontrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [ par : $F(x) = -x^2 + (3-e^2)x + (e^2 - 1)x\ln x$ est une primitive de $f$ .
b) Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.

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exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse B
Justification : la composée d'une fonction croissante par une fonction croissante est croissante. La composée d'une fonction croissante par une fonction décroissante est décroissante. Comme la fonction $x \mapsto \ln x$ est strictement croissante, alors la fonction $x \mapsto \ln[f(x)]$ a les mêmes variations que la fonction $f$ .

2. Réponse A
Justification : $g(x) = 4x - 2 \ln x$ donc $g'(x) = 4 - \dfrac{2}{x}$ . On a donc : $g(1) = 4 \times 1 - 2 \ln 1 = 4$ et $g'(1) = 4 - 2 = 2$ .
En appliquant la formule : $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ on trouve : $y = 2x + 2$

3. Réponse C
Justification :
$2 \ln x = \ln(2x + 3) \\ \Longleftrightarrow \ln x^2 = \ln(2x+3) \text{ et } x > 0 \\ \Longleftrightarrow x^2 = 2x + 3 \text{ et } x > 0$
La résolution de cette équation du second degré donne les 2 solutions -1 et 3, mais -1 est à exclure car $x > 0$ .

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

	Magie	Théâtre	Photo numérique	Total
Adultes	18	45	27	90
Enfants	30	24	6	60
Total	48	69	33	150

2. a) Il y a 60 enfants parmi les 150 personnes, donc : $p = \dfrac{60}{150} = \dfrac{2}{5} = 0,4$
La probabilité que la personne appelée soit un enfant est de 0,4.

2. b) Il y a 27 personnes qui ont choisi la photo parmi les 90 adultes, donc : $p = \dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10} = 0,3$
La probabilité que la personne appellée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte est de 0,3.

2. c) Il y a 45 adultes qui ont choisi le théatre parmi les 150 personnes, donc : $p = \dfrac{45}{150} = \dfrac{3}{10}= 0,3$
La probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre est de 0,3.

3. La probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est égale aux nombre de personnes ayant choisit la magie sur le nombre total de personnes : $p = \dfrac{48}{150} = 0,32$

4. Il y a 30 personnes sur 48 ayant choisi la magie qui sont des enfants, ce qui fait une probabilité de tomber sur un enfant égale à $\dfrac{5}{8}$ donc, le directeur a tort.

5. La probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie est de $\dfrac{45}{150} \times \dfrac{102}{150} \times \dfrac{102}{150} = \frac{468~180}{3~375~000} = 0,14$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1.
$f(1) = -2 + (e^2 - 1) \ln(1) + 2$
Or $\ln(1) = 0$
Donc $f(1) = -2 + 2 = 0$
$f(e^2) = -2e^2 + (e^2 - 1) \ln(e^2) + 2$
Or $\ln(e^x) = x$
Donc $\ln(e^2) = 2$
$f(e^2) = -2e^2 + 2e^2 - 2 + 2 = 0$

2. a) Graphiquement, le nombre d'appareils pour que le bénéfice de l'entreprise soit maximal semble être 320 (3,20 sur le graphique multiplié par 100 car il s'agit de centaines d'appareils). Le bénéfice en ce point semble être de 3 millions d'euros.

2. b) Les valeurs pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul semblent être les valeurs appartenant à l'intervalle [1 ; 7,40].

3. a) $f(x) = -2x + (e^2 - 1) \ln(x) + 2$
$f'(x) = -2 + \dfrac{e^2 - 1}{x}$

3. b) $\forall x \neq 0, \, -2 + \dfrac{e^2-1}{x} = 0 \Longleftrightarrow x = \dfrac{e^2-1}{2}$
Donc, si $x > \dfrac{e^2-1}{2}$ , alors $f'(x) < 0$ .
Inversement, si $x < \dfrac{e^2 - 1}{2}$ alors $f'(x) > 0$ .

3. c) Ainsi, le maximum de cette fonction est atteint en $x = \dfrac{e^2-1}{2}$ .
Le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal est de 319 (arrondi a l'unité).

4. On sait que $f(x)$ s'annule en 1 et en $e^2$ , donc la primitive de $f$ aura des extremums locaux en 1 et $e^2$ . Nous pouvons donc éliminer d'office la courbe de $F_1$ car elle n'a pas d'extremum local en 1. De plus la courbe de $F_3$ n'a pas d'extremum en $e^2$ donc $F_3$ ne peut être une primitive de $f$ . Par élimination, c'est la fonction $F_2$ qui est la primitive de $f$ .

5. Rechercher l'aire de la partie hachurée dans la figure trois, c'est calculer $F(e^2) - F(1)$ ou $F'(x) = f(x)$ .
D'après la question précédente, on sait que $F_2$ est la primitive de $f$ . Par lecture graphique, $F(e^2)$ semble être égal à 9,4 et $F(1)$ semble être égal à -3,4. Donc l'aire hachurée est environ égale à 9,4 - (-3,4) = 12,8.

6. a) $F'(x) = -2x + 3 - e^2 + (e^2 - 1)(1 + \ln(x)) = -2x + (e^2 - 1)\ln(x) + 2$
$F$ est bien une primitive de $f$ .

6. b) Grâce à l'expression de $F$ , on peut trouver l'aire exacte de la partie hachurée : $\mathcal{A} = 2(e^2 - 1)$
De plus, on sait que la valeur de $x_{\text{A}}$ de la partie hachurée est de (e² - 1), donc la valeur moyenne du bénéfice est égale à $\dfrac{\mathcal{A}}{x_{\text{A}}} = 2 \text{ millions}$

Publié par Pascal/simon92 le 30-03-2009

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