Fiche de mathématiques

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Bac Littéraire
Enseignement de spécialité
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 3

L'usage d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Pour tout nombre entier $n \geq 1$ , on considère le nombre entier $11^n+5^n-7$ .

1. a) Quel est le reste de 11 dans la division euclidienne par 10 ?
b) Démontrer que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $11^n \equiv 1$ (mod 10).

2. Démontrer que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $5^n \equiv 5$ (mod 10).
(On pourra utiliser un raisonnement par récurrence ou s'appuyer sur des propriétés de divisibilité).

3. Déterminer le plus petit nombre entier naturel $p$ tel que $11^n+5^n-7 \equiv p$ (mod 10).

4. Quel est le chiffre des unités du nombre $11^{2007}+5^{2007}-7$ ? Justifier la réponse donnée. 5 points

exercice 2

Dans un jeu, on dispose d'une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches, ainsi que d'un dé bien équilibré.
Une partie consiste pour un joueur à préveler au hasard une boule dans l'urne, puis :
    si la boule tirée est blanche, il lance le dé et gagne si le numéro obtenu est inférieur ou égal à 4,
    si la boule tirée est noire, il lance le dé et gagne si le numéro obtenu est pair.

On considère les événements suivants :
    $B$ : "Le joueur tire une boule blanche",
    $G$ : "Le joueur gagne la partie",
On note $\bar{B}$ et $\bar{G}$ les événements contraires de $B$ et de $G$ .

1. Calculer la probabilité que le joueur tire une boule blanche.

2. Calculer la probabilité que le joueur gagne la partie sachant qu'il a tiré une boule blanche.

3. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

4. Montrer que la probabilité que le joueur gagne la partie est égale à $\frac{19}{30}$ .

5. Le joueur gagne la partie. Quelle est probabilité qu'il ait tiré une boule blanche ? 5 points

exercice 3

Un robot miniature se déplace sur un cercle de centre $O$ et de rayon 1 mètre. Il est disposé au point $A_0$ puis il parcourt le cercle en tournant dans le sens direct (sens de la flèche sur la figure).
Il est décidé que son trajet s'effectuera en plusieurs étapes (voir figure).
   Etape 1 : il parcourt le demi-cercle de $A_0$ à $A_1$ , la distance parcourue est notée $d_1$ .
   Etape 2 : il parcourt le quart de cercle de $A_1$ à $A_2$ , la distance parcourue est notée $d_2$ .
   Etape $n$ : avec $n \ge 2$ : il parcourt l'arc de cercle de $A_{n-1}$ à $A_n$ , la distance parcourue notée $d_n$ , étant la moitié de celle parcourue à l'étape précédente.

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

On rappelle que :
    Le périmètre d'un cercle de rayon 1 mètre est égal à 2 $\pi$ mètres.
    $1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ , pour tout nombre réél $q \neq 1$ .

1.a) Exprimer $d_1$ et $d_2$ en fonction de $\pi$ .
   b) Reproduire la figure, plus placer le point $A_3$ . Justifier que $d_3 = \frac{\pi}{4}$ .

2.a) Quelle est la nature de la suite $(d_n)$ ? Justifier la réponse donnée.
   b) Montrer que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $d_n = \pi\left(\frac12\right)^{n-1}$

3. On s'intéresse à la distance totale, notée $D_n$ , parcourue par le robot sur le cercle à la fin de l'étape $n$ .
   a) Calculer $D_2$ .
   b) Démontrer que pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $D_n = 2\pi\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)$
   c) Déterminer la limte de la suite $(D_n)$ .
   d) Justifier que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $D_n < 2\pi$ .
Que peut-on en déduire pour le déplacement du robot sur le cercle ? 5 points

exercice 4

Suivant la prescription de son médecin, Pascal s'administre un médicament, lequel passe progressivement dans le sang comme il est aussi progressivement éliminé. Une documentation technique propose la fonction $f$ définie sur [0 ; 5] par $f(t)=5te^{-t}$ pour décrire la concentration, en mg/L, en fonction du temps écoulé $t$ ; en heures, valable pour les 5 heures après la prise.
Par ailleurs il est bien indiqué, pour prendre le volant de sa voiture, d'attendre que cette concentration soit inférieure à 0,25 mg/L.

Une courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 3

1. Etude de la fonction $f$ sur [0 ; 5].
   a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Vérifier que $f'(t)=5(1-t)e^{-t}$ .
   b) Etudier le signe de $f'(t)$ sur [0 ; 5].
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

2. Utilisation de la fonction $f$ .
   a) Au bout de combien de temps la concentration du médicament est-elle la plus élevée ?
   b) Il ne faut pas conduire tant que la concentration est supérieure ou égale à 0,25 mg/L.
Par lecture graphique, déterminer, avec la précision permise par le graphique, au bout de combien de temps après la prise du médicament Pascal pourra prendre le volant.

_{Note informative

La documentation sur le médicament, administré de façon non intraveineuse, précise que les échanges concernés par le passage dans le sang comme par l'élimination se font essentiellement dans un seul sens, suivant des lois qui mettent en jeu des constantes de temps voisines ; les coefficients sont bien sûr adaptés à la morphologie de Pascal.}

Voir la correction

exercice 1

1. a) 11 = 1 × 10 + 1
donc le reste de la division euclidienne de 11 par 10 est 1.

1. b) Démonstration par récurrence :
Pour n = 1, $11^1 = 11 = 10 + 1 \eq 1[10]$ . La propriété est vraie au rang 1.
Supposons que pour n fixé, $11^n \eq 1[10]$ . Cela signifie que $11^n - 1$ est un multiple de 10.
donc il existe un entier k tel que $11^n - 1 = 10k$
Donc $11^n = 10k+1$
$11^{n+1} = 11 \times 11^n = 11(10k+1) = 10 \times 11k + 11 = 10 \times 11k + 10 + 1 = 10(11k+1)+1$
Donc $11^{n+1}-1=10(11k+1)$ , donc $11^{n+1} - 1$ est un multiple de 10, $11^{n+1}\eq1[10]$ .
La propriété est donc héréditaire.
D'où : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n \ge 1 \, : \, \forall n\ge 1, 11^n\eq1[10]$ .

2. Démonstration par récurrence :
Pour n = 1, $5^1 = 5 \eq 5[10]$ . La propriété est vraie au rang 1.
Supposons que pour n fixé, $5^n \eq 5[10]$ . Cela signifie que $5^n - 5$ est multiple de 10, donc il existe un entier k tel que $5^n-5 = 10k$ , donc $5^n = 10k+5$ .
$5^{n+1} = 5 \times 5^n = 5(10k+5) = 10\times 5k + 25 = 10 \times 5k + 2 \times 10 + 5 = 10(5k+2) + 5$
$5^{n+1}-5 = 10(5k+2)$ donc $5^{n+1} - 5$ est multiple de 10 donc $5^{n+1}\eq5[10]$ , la propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\ge 1 \: : \: \forall x\ge 1 \, , \, 5^n\eq5[10]$

3. Pour tout $n\ge 1$ , $11^n + 5^n - 7 \eq 1 + 5 - 7 \eq -1 \eq 9[10]$

4. Cette propriété est en particulier vraie pour n = 2007. Donc : $11^{2007} + 5^{2007} -7\eq9[10]$
Donc le chiffre des unités de 11²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁷ - 7 est 9.

exercice 2

1. L'urne contient 4 boules blanches et 1 boule noire, le joueur a donc 4 chances sur 5 de tirer une boule blanche :
$\boxed{p(B)=\frac{4}{5}}$

2. Si le joueur a tiré une boule blanche, il gagne s'il obtient au dé un nombre inférieur ou égal à 4, donc s'il obtient 1, 2, 3 ou 4. Il a donc 4 chances sur 6 de gagner :
$\boxed{p_B(G) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}$

3. $p(\bar B) = 1 - p(B) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$p_B(\bar G) = 1 - p_B(G) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Si la boule tirée est noire, le joueur gagne s'il tire au dé un nombre pair, donc $p_{\bar B}(G)= \frac{1}{2}$ et $p_{\bar B}(\bar G) = \frac{1}{2}$
D'où l'arbre suivant :

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 4

4. $p(G) = p(B\cap G) + p(\bar B\cap G) = p(B)p_B(G) + p(\bar B)p_{\bar B}(G) = \frac{4}{5}\times\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\times\frac{1}{2} = \frac{8}{15}+\frac{1}{10} = \frac{16+3}{30} = \frac{19}{30}$

5. On utilise la formule des probabilités conditionnelles :
$p_G(B) = \frac{p(G\cap B)}{p(G)} = \frac{\frac{8}{15}}{\frac{19}{30}}=\frac{8}{15}\times\frac{30}{19} = \frac{16}{19}$

exercice 3

1. a) Entre A₀ et A₁, le robot a parcouru la moitié du cercle, donc $d_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$ .
Entre A₁ et A₂, le robot a parouru un quart du cercle, donc $d_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ .

1. b)

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 5

L'énoncé nous indique qu'à chaque étape le robot parcourt une distance égale à la moitié de la distance parcourue à l'étape précédente, donc $d_3 = \frac{1}{2}d_2 = \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

2. a) A chaque étape, la distance parcourue est égale à la moitié de la distance parcourue à l'étape précédente. On multiplie donc par $\frac{1}{2}$ la distance parcourue à l'étape n-1 pour obtenir la distance parcourue à l'étape n. Par définition, il s'agit donc d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $d_1=\pi$ .

2. b) (d_n) est suite géométrique de premier terme $d_1=\pi$ et de raison $q=\frac{1}{2}$ .
Par application des formules du cours, on a alors : pour tout $n \ge 1 \, , \, d_n = \frac{1}{2}d_{n-1}$ et $d_n=(\frac{1}{2})^{n-1}d_1 = \pi(\frac{1}{2})^{n-1}$ .

3. a) $D_2 = d_1 + d_2 = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

3. b) Pour tout $n \ge 1$ , $D_n = d_1 + d_2 + ... + d_n = \pi+\pi\frac{1}{2} + ... +\pi\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \pi \left(1+\frac{1}{2} + ... + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)$
Or, on nous rappelle dans l'énoncé que pour tout $q \neq 1$ , $1 + q + q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ , donc ici avec $q = \frac{1}{2}$ et en s'arrêtant à $n-1$ :
$1+\frac{1}{2}+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}}=2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$
D'où : $D_n = 2\pi(1-(\frac{1}{2})^n)$

3. c) Comme $\|\frac{1}{2}\| < 1 \, , \, \displaystyle \lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{2})^n=0$ , donc :
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}D_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty}2\pi\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 2\pi(1-0)=2\pi$
D'où : La limite de la suite (D_n) est $2\pi$ .

3. d) $D_n = 2\pi \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$
Or, $0 < \frac{1}{2} < 1$ donc pour tout $n \ge 1 \, , \, 0 < \left(\frac{1}{2}\right)^n<1$ donc $0 > -\left(\frac{1}{2}\right)^n> - 1$ donc $1 > 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 0$
D'où $2\pi > D_n = 2\pi\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) > 0$
On a bien, pour tout $n \ge 1 \, , \, D_n < 2\pi$
En conclusion, la distance totale parcourue par le robot tend vers $2\pi$ (= 1 tour) en restant inférieur à $2\pi$ . Le robot tend donc à effectuer un tour complet du cercle, sans jamais vraiment y parvenir.

exercice 4

1. a) f est dérivable sur [0 ; 5].
On pose $u(t) = t$ et $v(t) = e^{-t}$ , alors $u'(t) = 1$ et $v'(t) = -e^{-t}$ car la dérivée de $e^w$ est $w'e^w$ .
On a alors $f = 5uv$ et donc $f' = 5(u'v + uv')$
$f'(t) = 5\left(e^{-t}+t(-e^{-t}\right)\right) = 5(1-t)e^{-t}$

1. b) Une exponentielle est toujours strictement positive, donc f est du signe de 1-t :
sur [0 ; 1], 0 < t < 1 donc 0 > -t > -1 donc 1 > 1 - t > 0. La fonction f est donc positive.
sur [1 ; 5], 1 < t < 5 donc -1 > -t > -5 donc 0 > 1 - t > -4. La fonction f est donc négative.

1. c) Tableau de signe de f ' et tableau de variations de f :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 1 & & 5\\ \hline {f'(x)} & & + & 0 & - & \\ \hline \hspace{1pt} & & & {f(1)=\frac{5}{e}} & & \\ {f(x)} & & \nearrow & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & {f(0)=0} & & & & f(5)=\frac{25}{e^5} \\ \hline \end{array}$

2. a) La concentration du médicament est la plus élevée quand f atteint son maximum, c'est-à-dire quand $f'(t) = 0$ , donc quand $t = 1$ d'après le tableau précédent.
D'où : la concentration du médicament atteint son maximum au bout de 1 heure.

2. b) Lecture graphique :

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 6

Pascal pourra prendre le volant après 4,5 h, c'est-à-dire après 4 h 30 min.

Publié par Pascal/Aurélien le 28-04-2008

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