Fiche de mathématiques

Bac 2007

Bac Littéraire
Enseignement de spécialité
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 3

L'usage d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Pour tout nombre entier $n \geq 1$ , on considère le nombre entier $11^n+5^n-7$ .

1. a) Quel est le reste de 11 dans la division euclidienne par 10 ?
b) Démontrer que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $11^n \equiv 1$ (mod 10).

2. Démontrer que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $5^n \equiv 5$ (mod 10).
(On pourra utiliser un raisonnement par récurrence ou s'appuyer sur des propriétés de divisibilité).

3. Déterminer le plus petit nombre entier naturel $p$ tel que $11^n+5^n-7 \equiv p$ (mod 10).

4. Quel est le chiffre des unités du nombre $11^{2007}+5^{2007}-7$ ? Justifier la réponse donnée. 5 points

exercice 2

Dans un jeu, on dispose d'une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches, ainsi que d'un dé bien équilibré.
Une partie consiste pour un joueur à préveler au hasard une boule dans l'urne, puis :

si la boule tirée est blanche, il lance le dé et gagne si le numéro obtenu est inférieur ou égal à 4,

si la boule tirée est noire, il lance le dé et gagne si le numéro obtenu est pair.

On considère les événements suivants :
$B$ : "Le joueur tire une boule blanche",
$G$ : "Le joueur gagne la partie",
On note $\bar{B}$ et $\bar{G}$ les événements contraires de $B$ et de $G$ .

1. Calculer la probabilité que le joueur tire une boule blanche.

2. Calculer la probabilité que le joueur gagne la partie sachant qu'il a tiré une boule blanche.

3. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.
sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

4. Montrer que la probabilité que le joueur gagne la partie est égale à $\frac{19}{30}$ .

5. Le joueur gagne la partie. Quelle est probabilité qu'il ait tiré une boule blanche ? 5 points

exercice 3

Un robot miniature se déplace sur un cercle de centre $O$ et de rayon 1 mètre. Il est disposé au point $A_0$ puis il parcourt le cercle en tournant dans le sens direct (sens de la flèche sur la figure).
Il est décidé que son trajet s'effectuera en plusieurs étapes (voir figure).
   Etape 1 : il parcourt le demi-cercle de $A_0$ à $A_1$ , la distance parcourue est notée $d_1$ .
   Etape 2 : il parcourt le quart de cercle de $A_1$ à $A_2$ , la distance parcourue est notée $d_2$ .
   Etape $n$ : avec $n \ge 2$ : il parcourt l'arc de cercle de $A_{n-1}$ à $A_n$ , la distance parcourue notée $d_n$ , étant la moitié de celle parcourue à l'étape précédente.
sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

On rappelle que :

Le périmètre d'un cercle de rayon 1 mètre est égal à 2 $\pi$ mètres.

$1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ , pour tout nombre réél $q \neq 1$ .

1.a) Exprimer $d_1$ et $d_2$ en fonction de $\pi$ .
   b) Reproduire la figure, plus placer le point $A_3$ . Justifier que $d_3 = \frac{\pi}{4}$ .

2.a) Quelle est la nature de la suite $(d_n)$ ? Justifier la réponse donnée.
   b) Montrer que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $d_n = \pi\left(\frac12\right)^{n-1}$

3. On s'intéresse à la distance totale, notée $D_n$ , parcourue par le robot sur le cercle à la fin de l'étape $n$ .
   a) Calculer $D_2$ .
   b) Démontrer que pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $D_n = 2\pi\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)$
   c) Déterminer la limte de la suite $(D_n)$ .
   d) Justifier que, pour tout nombre entier $n \ge 1$ , $D_n < 2\pi$ .
Que peut-on en déduire pour le déplacement du robot sur le cercle ? 5 points

exercice 4

Suivant la prescription de son médecin, Pascal s'administre un médicament, lequel passe progressivement dans le sang comme il est aussi progressivement éliminé. Une documentation technique propose la fonction $f$ définie sur [0 ; 5] par $f(t)=5te^{-t}$ pour décrire la concentration, en mg/L, en fonction du temps écoulé $t$ ; en heures, valable pour les 5 heures après la prise.
Par ailleurs il est bien indiqué, pour prendre le volant de sa voiture, d'attendre que cette concentration soit inférieure à 0,25 mg/L.

Une courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 3

sujet du bac littéraire Polynésie Française 2007 - terminale : image 3

1. Etude de la fonction $f$ sur [0 ; 5].
   a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Vérifier que $f'(t)=5(1-t)e^{-t}$ .
   b) Etudier le signe de $f'(t)$ sur [0 ; 5].
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

2. Utilisation de la fonction $f$ .
   a) Au bout de combien de temps la concentration du médicament est-elle la plus élevée ?
   b) Il ne faut pas conduire tant que la concentration est supérieure ou égale à 0,25 mg/L.
Par lecture graphique, déterminer, avec la précision permise par le graphique, au bout de combien de temps après la prise du médicament Pascal pourra prendre le volant.

_{Note informative

La documentation sur le médicament, administré de façon non intraveineuse, précise que les échanges concernés par le passage dans le sang comme par l'élimination se font essentiellement dans un seul sens, suivant des lois qui mettent en jeu des constantes de temps voisines ; les coefficients sont bien sûr adaptés à la morphologie de Pascal.}

Voir la correction