Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Pondichéry - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnments entreront pour une part importante dans l'apprécition des copies.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

L'espace est raporté au repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j} \: , \: \overrightarrow{k})$ .
On considère le plan P d'équation $2x + y - 2z + 4 = 0$ et les points A de coordonnées (3, 2, 6), B de coordonnées (1, 2, 4), et C de coordonnes (4, -2, 5).

1. a) Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.
    b) Vérifier que ce plan est le plan P.

2. a) Montrer que le triangle ABC est rectangle.
    b) Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire au plan P.
    c) Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK.
    d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.

3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés S = {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
    a) Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G.
    b) On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).
    c) Déterminer la distance de G au plan P.

4. Soit $\Gamma$ l'ensemble des points M de l'espace vérifiant : $||3\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|| = 5$ .
Déterminer $\Gamma$ . Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à P et $\Gamma$ ?

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \overrightarrow{v})$ . Soit R la rotation du plan de centre $\Omega$ , d'affixe $\omega$ et d'angle de mesure $\theta$ . L'image par R d'un point du plan est donc définie de la manière suivante :
$R(\Omega) = \Omega$
pour tout M du plan, distinct de $\Omega$ , l'image M' de M est définie par $\Omega M' = \Omega M$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M} \: , \: \overrightarrow{\Omega M'}\right) \: [2\pi]$ .
On rappelle que, pour des points A et B d'affixes respectives a et b, AB = |b - a| et $(\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{AB}) = \arg(b - a) \left[2\pi\right]$ .

Question : Montrer que les affixes z et z' d'un point quelconque M du plan et de son image M' par la rotation R, sont liés par la relation $z' - \omega = e^{i \theta} (z - \omega)$

2. On considère les points I et B d'affixes respectives z_I = 1 + i et z_B = 2 + 2i. Soit R la rotation de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$ .
    a) Donner l'écriture complexe de R.
    b) Soit A l'image de I par R. Calculer l'affixe z_A de A.
    c) Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\text{OA}} \: , \: \overrightarrow{\text{OB}})$ .
    d) En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}})$ .

3. Soit T la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{IO}}$ . On pose A' = T(A).
    a) Calculer l'affixe z_A' de A'.
    b) Quelle est la nature du quadrilatère OIAA' ?
    c) Montrer que $-\dfrac{\pi}{12}$ est un argument de z_A'.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances
On suppose connus les résultats suivants :
la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ;
une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan.

Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s' deux similitudes du plan telles que :
s(A) = s'(A), s(B) = s'(B) et s(C) = s'(C).
Montrer que s = s'.

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O\: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ . La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe 1 + i, F d'affixe 2 + i et G d'affixe 3 + i.
    a) Calculer des longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
    b) Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l'écriture complexe de S.
    c) Soit h l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ . On pose A' = h(A) et G' = h(G), et on appelle I le milieu de [EA']. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que $\text{S} = \sigma \circ \text{h}$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur [0, + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x + 3}$ .

1. Montrer que $f$ est dérivable sur [0, + $\infty$ [. Etudier le signe de sa fonction défivée $f'$ , sa limite éventuelle en + $\infty$ , et dresser le tableau de ses variations.

2. On définit la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ par son terme général $u_n = \displaystyle \int_n^{n+1} f(x) \text{d}x$ .
    a) Justifier que, si $n \leq x \leq n+1$ , alors $f(n+1) \leq f(x) \leq f(n)$ .
    b) Montrer, sans chercher à calculer u_n, que, pour tout entier naturel n, $f(n+1) \leq u_n \leq f(n)$ .
    c) En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit F la fonction définie sur [0 , + $\infty$ [ par $F(x) = \left(\ln(x + 3)\right)^2$ .
    a) Jusifier la dérivabilité sur [0, + $\infty$ [ de la fonction F et déterminer, pour tout réel positif $x$ , le nombre $F'(x)$ .
    b) On pose, pour tout entier naturel n, I_n = $\displaystyle \int_0^n f(x) \text{d}x$ .
Calculer I_n.

4. On pose, pour tout entier naturel n, S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n-1.
Calculer S_n. La suite (S_n) est-elle convergente ?

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.

1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L'employé interroge 50 personnes de manière indépendante. On considère les événements :
A : " au moins une personne accepte de répondre "
B : " moins de trois personnes acceptent de répondre "
C : " trois personnes ou plus acceptent de répondre "

Calculer les probabilités des événements A, B et C. On arrondira au millième.

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :
$\left \lbrace \begin{array}{l} \text{Pour tout entier k tel que } 0 \leq k \leq n - 1, \: P(X = k) = \dfrac{e^{-a}a^k}{k!}, \\ \text{et } P(X = n) = 1 - \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{e^{-a}a^k}{k!},\\ \text{ formules dans lesquelles } a = \dfrac{n}{10} \\ \end{array} \right.$

    a) Montrer que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par : $f(a) = 1 - e^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right)$ .
    b) Calculer $f(5)$ . En donner l'arrondi au millième. Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1 ?

3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d'entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.
    a) Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x) = 1 - \text{e}^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right)$ ainsi que sa limite en $+ \infty$ . Dresser son tableau de variations.
    b) Montrer que l'équation $f(x) = 0,95$ admet une solution unique sur $\mathbb{R}^+$ , et que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.
    c) En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.

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exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) Vérifions que les points A, B et C définissent un plan :
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires puisque ces vecteurs ont pour coordonnées :
$\overrightarrow{\text{AB}} (-2 \, ; \, 0 \, ; \, -2) \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}} (1 \, ; \, -4 \, ; \, -1)$ .
Les points A, B et C définissent donc un plan, le plan (ABC).

1. b) Vérifions que ce plan est le plan P :
Il faut vérifier que les points A, B, C appartiennent au plan P :
$\text{A} \in P \: \Longleftrightarrow \: 2 \times 3 + 2 - 2 \times 6 + 4 = 0 \text{ est vrai. }\\ \text{B} \in P \: \Longleftrightarrow \: 2 \times 1 + 2 - 2 \times 4 + 4 = 0 \text{ est vrai. }\\ \text{C} \in P \: \Longleftrightarrow \: 2 \times 4 + (-2) - 2 \times 5 + 4 = 0 \text{ est vrai. }$
Ainsi, les trois points A, B, C appartiennent au plan P, on peut donc dire que le plan P est le plan (ABC).

2. a) Montrons que le triangle ABC est rectangle :
D'aprés les coordonnées des vecteurs, on a :
$\overrightarrow{\text{AB}} . \overrightarrow{\text{AC}} = (-2) \times 1 + 0 \times (-4) + (-2) \times (-1) = 0$
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}} \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}}$ sont donc orthogonaux, les droites (AB) et (AC) sont donc perpendiculaires et le triangle ABC est par conséquent rectangle en A.

2. b) Déterminons un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ :
De maniere générale, le vecteur $\overrightarrow{\text{n}} (a \, ; \, b \, ; \, c)$ est un vecteur normal au plan d'équation $ax + by + cz + d = 0.$
Dans notre cas, on a donc : $\overrightarrow{\text{n}} (2 \, ; \, 1 \, ; \, -2)$ , ce vecteur normal au plan P est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$ .
Ainsi, on a :
$\text{M} \in \left(\Delta\right) \Longleftrightarrow \overrightarrow{\text{OM}} = \lambda \overrightarrow{\text{n}}$ ce qui se traduit par le système :
$\left. \begin{array}{rcl} x & = & 2\lambda \\ y & = & \lambda \\ z & = & -2\lambda \\ \end{array} \right \rbrace \: \: \lambda \in \mathbb{R}$

2. c) Calculons la distance OK :
On a : (OK) $\perp$ P et (OK) = $\left(\Delta\right)$ . Le point K est donc commun au plan P et à la droite $(\Delta)$ .
Comme K appartient au plan P, ses coordonnées vérifient l'équation du plan : $2x_{\text{K}} + y_{\text{K}} - 2z_{\text{K}} + 4 = 0 \: \Longleftrightarrow \: 2 \times 2\lambda + \lambda - 2 \times (-2\lambda) + 4 = 0 \: \Longleftrightarrow \:$ $9\lambda + 4 = 0 \: \Longleftrightarrow \: \lambda = -\dfrac{4}{9}$ .
On obtient donc les coordonnées de $\text{K}\left(\dfrac{-8}{9} \, ; \, \dfrac{-4}{9} \, ; \, \dfrac{8}{9}\right).$ Cela permet de calculer OK² :
$\text{OK}^2 = \left(\dfrac{-8}{9}\right)^2 + \left(\dfrac{-4}{9}\right)^2 + \left(\dfrac{8}{9}\right)^2 = \dfrac{64}{81} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{64}{81} = \dfrac{144}{81} = \dfrac{16}{9}.$
D'où on a $\text{OK} = \dfrac{4}{3}$ .

2. d) Calculons le volume du tétraèdre OABC :
La base du tétraèdre est (ABC) et la hauteur [OK].
On a : AB² = 4 + 4 = 8 donc AB = $2\sqrt{2}$ , de même AC² = 1 + 16 + 1 = 18 donc AC = $3\sqrt{2}$ .
D'où : $\text{Aire}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = 6 \text{ cm}^2$ et par conséquent, on en déduit que : $\text{Vol}_{(OABC)} = \dfrac{6 \times \text{OK}}{3} = \dfrac{8}{3} \text{ cm}^3$ .

3. a) Le barycentre G des points O, A, B, C existe si et seulement si la somme des coefficients affectés à ces points est non nulle :
3 + 1 + 1 + 1 = 6, donc G existe et G par définition est tel que : $3\overrightarrow{\text{GO}} + \overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{GB}} + \overrightarrow{\text{GC}} = \overrightarrow{0}$ .

3. b) I centre de gravité du triangle (ABC) $\Longleftrightarrow$ I isobarycentre des points pondérés : (A , 1), (B , 1) , (C , 1).
Alors, d'aprés l'associativité du barycentre, G est le barycentre et même l'isobarycentre du système de points pondérés {(O , 3) , (I , 3)}.
G est donc le milieu du segement [OI] d'où G appartient à la droite (OI).

3. c) Déterminons la distance de G au plan P :
On a $\overrightarrow{\text{OI}} = \dfrac{1}{3} \left(\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{OC}}\right)$ .
D'où $\text{I}\left(\dfrac{8}{3} \, ; \, \dfrac{2}{3} \, ; \, \dfrac{15}{3}\right) \text{ et } \text{G}\left(\dfrac{4}{3} \, ; \, \dfrac{1}{3} \, ; \, \dfrac{5}{2})$ .
Par ailleurs, on a : $\text{d(G , P)} = \dfrac{\|2x_{\text{G}} + y_{\text{G}} - 2z_{\text{G}} + 4\|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{2}{3}$

4. Déterminons $\Gamma$ :
D'après la relation de Chasles, on a :
$3\overrightarrow{\text{MO}} + \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}} = 3\overrightarrow{\text{MG}} + 3\overrightarrow{\text{GO}} + \overrightarrow{\text{MG}} + \overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{MG}} + \overrightarrow{\text{GB}} + \overrightarrow{\text{MG}} + \overrightarrow{\text{GC}} = 6\overrightarrow{\text{MG}}$ .
On a alors : $||3\overrightarrow{\text{MO}} + \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}}|| = 5 \Longleftrightarrow ||6\overrightarrow{\text{MG}}|| = 5 \Longleftrightarrow \text{MG} = \dfrac{5}{6}$ .
L'ensemble $\Gamma$ est donc la sphère de centre G et de rayon $\dfrac{5}{6}$ .
D'aprés la question 3. c) la distance du point G au plan P est $\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}$ l'ensemble des points communs à P et à cette sphère est donc un cercle.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Montrons que les affixes z et z' d'un point quelconque M du plan et de son image M' par la rotation R, sont liés par la relation $z' - \omega = e^{i\theta}(z-\omega)$ :
Soit M un point du plan d'affixe z et M' d'affixe z' tel que R(M) = M'. On a donc :
$\Omega M' = \Omega M \: \Longleftrightarrow \: |z' - \omega| = |z - \omega| \: \Longleftrightarrow \: \|\frac{z' - \omega}{z-\omega}\| = 1$
$\left(\overrightarrow{\Omega \text{M}} \, , \, \overrightarrow{\Omega \text{M'}}\right) = \theta \: [2\pi] \: \Longleftrightarrow \: \arg\left(\dfrac{z' - \omega}{z - \omega}\right) = \theta \: [2 \pi]$
Donc $\dfrac{z' - \omega}{z - \omega}$ est un nombre complexe de module 1 et d'argument $\theta \: [2\pi]$
On en conclut que : $\dfrac{z' - \omega}{z - \omega} = e^{\text{i}\theta}$
D'où : $\boxed{z' - \omega = e^{\text{i}\theta}(z - \omega)}$

2. a) Donnons l'écriture complexe de R :
R est la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ , donc l'écriture complexe de R est :
$z' - z_{\text{B}} = e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(z - z_{\text{B}})\\ z' - (2 + 2\text{i}) = \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \text{i} \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)(z - (2 + 2\text{i}) \\ z' = \left(\frac12 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(z - 2 - 2\text{i}) + 2 + 2\text{i} \\ z' = \left(\frac12 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - 1 - \text{i} - \text{i}\sqrt{3} + \sqrt{3} + 2 + 2\text{i}$
D'où : $\boxed{z' = \left(\frac12 + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z + 1 + \sqrt{3} + \text{i}(1 - \sqrt{3})}$

2. b) Calculons l'affixe z_A de A :
En appliquant la relation établie à la question précédente à l'affixe du point I, on obtient :
$z_{\text{A}} = \left(\dfrac12 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z_{\text{I}} + 1 + \sqrt{3} + \text{i}(1 - \sqrt{3}) \\ z_{\text{A}} = \left(\dfrac12 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i}) + 1 + \sqrt{3} + \text{i}(1 - \sqrt{3}) \\ z_{\text{A}} = \dfrac12 + \dfrac12 \text{i} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{3} + \text{i}(1 - \sqrt{3}) \\ \boxed{z_{\text{A}} = \frac{3+\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{3-\sqrt{3}}{2}}$

2. c) Montrons que les points O, A et B sont sur un même cercle :
$\text{OI} = |z_{\text{I}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\ \text{AI} = |z_{\text{I}} - z_{\text{A}}| = \sqrt{\left(1 - \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(1 - \dfrac{3-\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{(-1-\sqrt{3})^2}{4} + \dfrac{(-1 + \sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3}{4}} = \sqrt{2} \\ \text{BI} = |z_{\text{I}} - z_{\text{B}}| = \sqrt{(1-2)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{2}$
Donc : OI = AI = BI. Les points O, A et B apaprtiennent donc au cercle de centre I, milieu du segment [OB].
Le point A appartient au cercle de diamètre [OB], donc le triangle AOB est rectangle en A.

Donnons une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OB}}\right)$ :
A est l'image de I par la rotation R, donc $\left(\overrightarrow{\text{BI}} \, , \, \overrightarrow{\text{BA}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \: [2\pi]$
Le triangle OAB est rectangle en A, donc $\left(\overrightarrow{\text{AB}} \, , \, \overrightarrow{\text{AO}}\right) = \dfrac{\pi}{2} \: [2\pi]$
Or, la somme des angles d'un triangle est égale à $\pi$ radians, donc :
$\left(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OB}}\right) = \pi - \left(\left(\overrightarrow{\text{BI}} \, , \, \overrightarrow{\text{BA}}\right) + \left(\overrightarrow{\text{AB}} \, , \, \overrightarrow{\text{AO}}\right) \right) \: [2\pi] \\ \left(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OB}}\right) = \pi - \left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2}\right) \: [2\pi] \\ \boxed{\left(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{6} \: [2\pi]}$

2. d) Déduisons-en une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right)$ :
$\left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right) = \left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OB}}\right) + \left(\overrightarrow{\text{OB}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right) \: [2\pi] \\ \left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right) = \arg(z_{\text{B}}) - \dfrac{\pi}{6} \: [2\pi] \\ \left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right) = \arg(2(1+\text{i})) - \dfrac{\pi}{6} \: [2\pi] \\ \left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} \: [2\pi] \\ \boxed{\left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}\right) = \frac{\pi}{12} \: [2\pi]}$

3. a) Calculons l'affixe z_A' de A' :
A' = T(A), donc $\overrightarrow{\text{AA'}} = \overrightarrow{\text{IO}},$ ce qui se traduit par :
$z_{\text{A'}} - z_{\text{A}} = z_{\text{O}} - z_{\text{I}} \\ z_{\text{A'}} = -1 - \text{i} + \dfrac{3+\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{-3-\sqrt{3}}{2} \\ \boxed{z_{\text{A'}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1-\sqrt{3}}{2}}$

3. b) Déterminons la nature du quadrilatère OIAA' :
Comme A' = T(A), alors par définition, $\overrightarrow{\text{AA'}} = \overrightarrow{\text{IO}}$
Donc OIAA' est un parallélogramme.
De plus, on a vu à la question 2. c) que OI = AI. Le parallélogramme OIAA' a donc deux côtés consécutifs de même longueur, donc OIAA' est un losange.

3. c) Montrons que $-\dfrac{\pi}{12}$ est un argument de z_A' :
$\arg z_{\text{A'}} = (\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) \: [2\pi]$
D'après la relation de Chasles, on a :
$(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = (\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}) + (\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) \: [2\pi] \\ (\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = \dfrac{\pi}{12} + (\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) [2 \pi]$
OIAA' est un losange, donc (OA) est un axe de symétrie du losange. Donc (OA) est une bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{\text{OA'}} \, , \, \overrightarrow{\text{OI}}).$ Donc :
$(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = (\overrightarrow{\text{OI}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}) \, [2\pi] \\ (\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = (\overrightarrow{\text{OB}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA}}) \, [2\pi]$
$(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = -\dfrac{\pi}{6} \, [2\pi]$ (cf question 2. c)
D'où :
$(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = \dfrac{\pi}{12} - \dfrac{\pi}{6} \: [2\pi] \\ \boxed{\arg z_{\text{A'}} = \left(\overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}\right) = -\frac{\pi}{12} \: [2\pi]}$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Montrons que s = s' :
On a s(A) = s'(A) et s(B) = s'(B) et s(C) = s'(C)
Donc, on a : $s(\text{A}) \circ s^{\prime -1}(\text{A}) = (s \circ s^{\prime -1})(\text{A}) = (s \circ s^{-1})(\text{A}) = \text{A}$ , de même pour B et C.
On en déduit que $s \circ s^{\prime -1} = Id$
soit $\boxed{s = s'}$

2. a) Montrons que les triangles OAG et OEF sont semblables :
Dans le triangle OAG, on a :
$\text{OA} = |z_{\text{A}}| = 2\\ \text{OG} = |z_{\text{G}}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \\ \text{AG} = |z_{\text{G}} - z_{\text{A}}| = |3 + \text{i} - 2| = |1 + \text{i}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
Dans le triangle OEF, on a :
$\text{OE} = |z_{\text{E}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\ \text{OF} = |z_{\text{F}}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \\ \text{EF} = |z_{\text{F}} - z_{\text{E}}| = |2 + \text{i} - 1 - \text{i}| = |1| = 1$
On a donc : $\text{\frac{OA}{OE} = \frac{OG}{OF} = \frac{AG}{EF}} = \sqrt{2}$ , les triangles OAG et AEF sont donc semblables.

2. b) Montrons que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte S :
Supposons que cette similitude S existe, son écriture complexe est de la forme : $z' = a\bar{z}+ b$ où $a \, , \, b \in \mathbb{C}$
Ici, on a : $\left \lbrace \begin{array}{l} S(O) = O \\ S(G) = F\\ S(A) = E\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{rcl} b & = & 0 \\ a & = & \dfrac{1}{2}(1+\text{i})\\ a & = & \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}}=\dfrac{1}{2}(1 + \text{i}) \\ \end{array} \right.$ Donc S a pour écriture complexe : $z'=\dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$

2. c) Montrons que $\text{S} = \sigma \circ \text{h}$ :
L'écriture complexe de l'homothétie h de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ est : $z' = \dfrac{1}{\sqrt 2}z = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
A' = h(A), donc : $z_{\text{A'}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = \sqrt{2}$ .
A' a pour affixe $\sqrt{2}$
G' = h(G), donc : $z_{\text{G'}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} z_{\text{G}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times (3 + \text{i}) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
G' a pour affixe $\dfrac{3\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
I est le milieu de [EA'], donc : $z_{\text{I}} = \dfrac{z_{\text{E}} + z_{\text{A'}}}{2} = \dfrac{1 + \text{i} + \sqrt{2}}{2} = \dfrac{1+\sqrt 2}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$
I a pour affixe $\dfrac{1+\sqrt 2}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$

Ainsi on a : $\overrightarrow{\text{OI}} . \overrightarrow{\text{EA}'} = \dfrac{1+\sqrt{2}}{2} \times (\sqrt{2} - 1) + \dfrac12 \times (-1) = \dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2 - 1^2}{2} - \dfrac12 = 0$
I est le milieu de [EA'] et les droites (OI) et (EA') sont perpendiculaires, donc (OI) est la médiatrice de [EA'].
Donc E est donc l'image de A' par la symétrie $\sigma$ d'axe (OI).
D'où : $\sigma \circ \text{h} (\text{A}) = \sigma(\text{A'}) = \text{E}$

Soit J le milieu de [FG'], donc :
$z_{\text{J}} = \dfrac{z_{\text{F}} + z_{\text{G'}}}{2} = \dfrac{2+\text{i}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{4+3\sqrt{2}}{4}+\text{i}\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$
Donc le point J a pour affixe $\dfrac{4+3\sqrt{2}}{4}+\text{i}\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Montrons que les points O, I et J sont alignés :
I a pour affixe $\dfrac{1+\sqrt 2}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ et J a pour affixe $\dfrac{4+3\sqrt{2}}{4}+\text{i}\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$ .
Or, $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{2+\sqrt{2}}{4} - \dfrac12 \dfrac{4+3\sqrt{2}}{4} = \dfrac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}{8} - \dfrac{4+3\sqrt{2}}{8} = \dfrac{4 + 3\sqrt{2} - 4 - 3\sqrt{2}}{8} = 0$
Donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{OI}} \text{ et } \overrightarrow{\text{OJ}}$ sont colinéaires. Les points O, I et J sont donc alignés. Donc le point J, milieu du segment [FG'] appartient à la droite (OI).
De plus, $\overrightarrow{\text{OI}}.\overrightarrow{\text{FG}'} = \left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right) \times \left(\dfrac{3\sqrt{2} - 4}{2}\right) + \dfrac12 \times \left(\dfrac{\sqrt{2}-2}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt 2 - 4 + 3 \times 2 - 4\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2} - 2}{4} = 0$
Donc les droites (OI) et (FG') sont perpendiculaires. F est donc l'image de G' par la symétrie $\sigma$ d'axe (OI).
D'où : $\sigma \circ \text{h}(\text{G}) = \sigma(\text{G'}) = \text{F}$
De plus, le point O appartient à la droite (OI), donc O est sa propre image par la symétrie $\sigma$ d'axe (OI).
D'où : $\sigma \circ \text{h}(\text{O}) = \sigma(\text{O}) = \text{O}$
On a donc :
$\lbrace \text{O} = \sigma \circ \text{h}(\text{O}) = \text{S}(\text{O}) \\ \text{F} = \sigma \circ \text{h}(\text{G}) = \text{S}(\text{G}) \\ \text{E} = \sigma \circ \text{h}(\text{A}) = \text{S}(\text{A})\.$
Donc d'après la question 1., on a $\boxed{\text{S} = \sigma \circ \text{h}}$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Montrons que $f$ est dérivable sur [0 , + $\infty$ [ :
La fonction affine $x \mapsto x + 3$ est dérivable et strictement positive sur [0 , + $\infty$ [. La fonction $x \mapsto \ln x$ est dérivalbe sur ]0 , + $\infty$ [.
Donc par compsée de fonctions dérivables, $x \mapsto \ln(x+3)$ est dérivable sur [0 , + $\infty$ [.
De plus, $x \mapsto x+3$ ne s'annule pas sur [0 , + $\infty$ [ et est dérivable sur [0 , + $\infty$ [.
D'où : par quotient de fonctions dérivables, $f$ est dérivable sur [0 , + $\infty$ [.

$f(x) = \dfrac{\ln(x+3)}{x+3}$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = \ln(x+3) \text{ et } v(x) = x + 3$ fonctions définies et dérivables sur [0 , + $\infty$ [. On a : $u'(x) = \dfrac{1}{x+3} \text{ et } v'(x) = 1$
Pour tout réel $x$ de [0 , + $\infty$ [, on a :
$f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x+3} \times (x+3) - 1 \times \ln(x + 3)}{(x + 3)^2} = \dfrac{1 - \ln(x+3)}{(x+3)^2}$

Etudions le signe de $f'$ :
La dérivée est du signe de $1 - \ln(x+3)$ (car un carré est toujours positif donc pour tout réel $x \, , \, (x+3)^2 \geq 0$ ).
On a :
$f'(x) < 0 \: \Longleftrightarrow \: 1 - \ln(x+3) < 0 \\ \hspace{54pt} \Longleftrightarrow \: -\ln(x + 3) < -1 \\ \hspace{54pt} \Longleftrightarrow \ln(x + 3) > 1 \\ \hspace{54pt} \Longleftrightarrow e^{\ln(x+3)} < e^1 \text{ car } x \mapsto e^x \text{ est continue et croissante sur } \mathbb{R} \\ \hspace{54pt} \Longleftrightarrow x + 3 > e\\ \hspace{54pt} \Longleftrightarrow x > e - 3$
Or, e - 3 < 0, donc pour tout réel $x > 0 \, , \, f'(x) < 0$
Donc $f$ est décroissante sur [0 , + $\infty$ [.

On a : $f(0) = \dfrac{\ln(0 + 3)}{0 + 3} = \dfrac{\ln 3}{3}$

Déterminons la limite de $f$ en + $\infty$ :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x + 3) = +\infty \\ \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \dfrac{\ln X}{X} = 0 \end{array} \right \rbrace \Longrightarrow \: \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x + 3)}{x + 3} = 0$

Dressons le tableau des variations de $f$ :
$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & 0 &&&& +\infty \\ \hline f'(x) &&& - && \\ \hline \hspace{1pt} & \frac{\ln3}{3} &&&& \\ f(x) & && \searrow && \\ \hspace{1pt} &&&&& 0\\ \hline \end{array}$

2. a) Justifions l'encadrement de $f(x)$ :
Pour tout $x \geq 0$ , si $n \leq x \leq n+1$ alors par décroissance de $f$ sur [0 , + $\infty$ [, on a : $f(n+1) \leq f(x) \leq f(n)$

2. b) Montrons l'encadrement de u_n :
Pour tout entier naturel n, $f(n+1) \leq f(x) \leq f(n)$ .
Donc en intégrant de n à n + 1 l'inégalité, on obtient :
$\displaystyle \int_{n}^{n+1} f(n+1) \text{d}n \leq \displaystyle \int_n^{n+1} f(x) \text{d}x \leq \displaystyle \int_n^{n+1} f(n) \text{d}x \\ f(n+1) [x]^{n+1}_n \leq u_n \leq f(n) [x]^{n+1}_n \\ (n+1-n) f(n+1) \leq u_n \leq (n+1-n) f(n)$
D'où : pour tout entier naturel n, $f(n+1) \leq u_n \leq f(n)$

2. c) Déduisons-en que la suite (u_n) est convergente :
On a : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(n+1) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(n) = 0$
Donc : (u_n) est encadrée par deux suites qui tendent vers zéro. D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que : $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$
D'où : la suite (u_n) converge vers 0.

3. a) Justifions la dérivabilité sur [0 , + $\infty$ [ de la fonction F :
On a vu à la question 1. que $x \mapsto \ln(x+3)$ est dérivable sur [0 , + $\infty$ [.
La fonction $x \mapsto x^2$ est dérivable sur [0 , + $\infty$ [.
Donc par composée de fonctions dérivables, F est dérivable sur [0 , + $\infty$ [.
F est de la forme $u^2$ avec $u(x) = \ln(x + 3)$
Pour tout réel $x$ de [0 , + $\infty$ [, on a :
$F'(x) = 2 \times \ln(x+3) \times \dfrac{1}{x+3} = 2\dfrac{\ln(x+3)}{x+3} = 2 \times f(x)$
D'où : pour tout réel $x$ de [0 , + $\infty$ [, $F'(x) = 2f(x)$

3. b) Calculons I_n :
Pour tout entier naturel n,
$\text{I}_n = \displaystyle \int_0^n f(x) \text{d}x = \left[\dfrac{F(x)}{2}\right]_0^n = \dfrac{1}{2} \times [F(n) - F(0)]$
D'où : pour tout entier naturel n, $\boxed{\text{I}_n = \frac{\ln^2(n+3) - \ln^2(3)}{2}}$

4. Calculons S_n :
Pour tout entier naturel n,
$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} \\ S_n = \displaystyle \int_0^1 f(x) \text{d}x + \int_1^2 f(x) \text{d}x + \cdots + \int^n_{n-1} f(x) \text{d} x \\ S_n = \displaystyle \int_0^n f(x) \text{d}x \: \text{ par application de la relation de Chasles.} \\ S_n = \frac{\ln^2(n+3) - \ln^2(3)}{2}$

Déterminons si la suite (S_n) est convergente :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (n+3) = +\infty \\ \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \ln X = +\infty \\ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \ln(n+3) = +\infty \end{array} \right \rbrace \: \Longrightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \ln(n+3) = +\infty \\ \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \ln(n+3) = +\infty \\ \displaystyle \lim_{X \to +\infty} X^2 = +\infty \end{array} \right \rbrace \: \Longrightarrow \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \ln^2(n+3) = +\infty$
D'où : $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty}$
Donc la suite (S_n) n'est donc pas convergente.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Calculons les probabilités des événements A, B et C :
Soit $Y$ la variable qui associe le nombre de personnes acceptant de répondre. Les personnes sont choisies de manière indépendante. Une personne choisie au hasard soit accpete de répondre avec la probbilité 0,1, soit refuse de répondre avec la probabilité 1 - 0,1 = 0,9.
$Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,1$ . Donc pour $0 \leq k \leq 50 \, , \, p(X = k) = \left(^{50}_k\right) \: 0,1^k \times 0,9^{50-k}$

A : " au moins une personne accepte de répondre "
On a : p(A) = 1 - p(X = 0) = $1 - \left(^{50}_0\right) 0,1^0 \times 0,9^{50} \approx 0,995$ à 10^-3 près.
Il y a donc 99,5 % de chance qu'au moins une personne parmi les 50 accepte de répondre.

B : " moins de trois personnes acceptent de répondre "
Donc : soit aucune personne ne répond, soit une personne répond, soit deux personnes répondent.
Donc : B = (X = 0) $\cup$ (X = 1) $\cup$ (X = 2) avec les événements (X = 0), (X = 1) et (X = 2) incompatibles. Donc :
p(B) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = p(X < 3)
$p(B) = \left(^{50}_0\right) 0,1^0 \times 0,9^{50} + \left(^{50}_1\right) 0,1^1 \times 0,9^{49} + \left(^{50}_2\right) 0,1^2 \times 0,9^{48} \approx 0,112$ à 10^-3 près.
Il y a donc 11,2% de chance que moins de trois personnes parmi les 50 acceptent de répondre.

C : " trois personnes ou plus acceptent de répondre "
$p(C) = p(X \geq 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - p(B) \approx 0,888$ à 10^-3 près.
Il y a donc 88,8 % de chance que trois personnes ou plus acceptent de répondre.

2. a) Montrons que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par $f(a)$ :
$p(X \geq 3) = 1 - p(X < 3) \\ p(X \geq 3) = 1 - (p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)}\\ p(X \geq 3)} = \left(\dfrac{e^{-a}a^0}{0!} + \dfrac{e^{-a}a^0}{1!} + \dfrac{e^{-a}a^2}{2!}\right)$
D'où : $\boxed{p(X \geq 3) = 1 - e^{-a} \left(1 + a + \frac{a^2}{2}\right) = f(a)}$

2. b) Calculons $f(5)$ :
$f(5) = 1 - e^{-5}\left(1 + 5 + \dfrac{5^2}{2}\right)$
$f(5) \approx 0,875$ à 10^-3 près.
$a = \dfrac{n}{10}$ donc pour a = 5, n = 50.
Donc : $f(5)$ correspond à la probabilité que parmi 50 personnes interrogées, au moins 3 répondent. Il y a 87,5 % de chance qu'au moins trois personnes lui répondent. A la question 1., il avait 88,8 % de chance. On retrouve donc un résultat voisin de celui obtenu à la question 1..

3. a) Etudions les varaitions de la fonction $f$ :
$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ , on a :
$f'(x) = -(-e^{-x}) \left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right) - e^{-x}\left(1 + \dfrac{2x}{2}\right) \\ f' (x) = e^{-x} \left[1 + x + \dfrac{x^2}{2} - 1 - x\right] \\ f' (x) = \dfrac{x^2}{2} e^{-x}$
Pour tout réel $x \geq 0 \, , \, e^{-x} > 0 \text{ et } \dfrac{x^2}{2} \geq 0$
Donc pour tout rel $x \geq 0 \, , \, f' (x) \geq 0$
$f$ est donc croissante sur $\mathbb{R}^+$
On a : $f(0) = 1 - e^{-0}\left(1 + 0 + \dfrac{0^2}{2}\right) = 0$

Déterminons la limite de $f$ en + $\infty$ :
Pour tout $x \in \mathbb{R}^+ \, , \, f(x) = 1 - e^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right) = 1 - e^{-x} - xe^{-x} - \dfrac{x^2}{2}e^{-x}$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to + \infty} xe^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 \text{ car } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{2}e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{x^2} = 0 \text{ car } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 - e^{-x} - xe^{-x} - \frac{x^2}{2}e^{-x}\right) = 1$

Dressons le tableau de variations :
$\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x&0&&&&+\infty \\ \hline f'(x)&&&+&& \\ \hline \hspace{1pt}&&&&& 1 \\ f(x) &&& \nearrow && \\ \hspace{1pt} & 0 &&&& \\ \hline \end{array}$

3. b) Montrons que l'équation $f(x) = 0,95$ admet une unique solution unique sur $\mathbb{R}^+$ :
Sur $\mathbb{R}^+$ , $f$ est continue et strictement croissante.
De plus, $f(0) = 0 \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$
Or, 0,95 $\in$ [0 , 1], donc : l'équation $f(x) = 0,95$ admet une solution unique sur $\mathbb{R}^+$
$f(6,29) \approx 0,9497 \hspace{30pt} \text{et} \hspace{30pt} f(6,3) = \approx 0,9501$
D'où : cette unique solution $\alpha$ est comprise entre 6,29 et 6,3.

3. c) Déduisons-en le nombre minimum de personnes à interroger :
On cherche le nombre n minimum de personnes à interroger tel que $\rm P(X \geq 3) \geq 0,95$
ce qui équivaut à $f(x) \geq 0,95$
Or, d'après la question précédente, $f(x) \geq 0,95$ équivaut à $x\geq \alpha$
Le nombre de personnes interrogées doit donc au minimum être égal à n = 6,3 × 10, soit 63 personnes.

Publié par Cel/robby et moi le 01-11-2007

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