L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Pondichéry - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnments entreront pour une part importante dans l'apprécition des copies.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 Exercice 1 (4 points) - Commun à tous les candidats

L'espace est raporté au repère orthonormal .
On considère le plan P d'équation et les points A de coordonnées (3, 2, 6), B de coordonnées (1, 2, 4), et C de coordonnes (4, -2, 5).

1. a) Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.
   b) Vérifier que ce plan est le plan P.

2. a) Montrer que le triangle ABC est rectangle.
   b) Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite passant par O et perpendiculaire au plan P.
   c) Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK.
   d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.

3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés S = {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
   a) Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G.
   b) On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).
   c) Déterminer la distance de G au plan P.

4. Soit l'ensemble des points M de l'espace vérifiant : .
Déterminer . Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à P et ?

 Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct . Soit R la rotation du plan de centre , d'affixe et d'angle de mesure . L'image par R d'un point du plan est donc définie de la manière suivante :
-
- pour tout M du plan, distinct de , l'image M' de M est définie par et .
On rappelle que, pour des points A et B d'affixes respectives a et b, AB = |b - a| et .

Question : Montrer que les affixes z et z' d'un point quelconque M du plan et de son image M' par la rotation R, sont liés par la relation

2. On considère les points I et B d'affixes respectives z_I = 1 + i et z_B = 2 + 2i. Soit R la rotation de centre B et d'angle de mesure .
    a) Donner l'écriture complexe de R.
    b) Soit A l'image de I par R. Calculer l'affixe z_A de A.
    c) Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle .
    d) En déduire une mesure de l'angle .

3. Soit T la translation de vecteur . On pose A' = T(A).
    a) Calculer l'affixe z_A' de A'.
    b) Quelle est la nature du quadrilatère OIAA' ?
    c) Montrer que est un argument de z_A'.

 Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances
On suppose connus les résultats suivants :
- la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
- la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ;
- une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan.

Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s' deux similitudes du plan telles que :
s(A) = s'(A), s(B) = s'(B) et s(C) = s'(C).
Montrer que s = s'.

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal . La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe 1 + i, F d'affixe 2 + i et G d'affixe 3 + i.
      a) Calculer des longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
      b) Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l'écriture complexe de S.
      c) Soit h l'homothétie de centre O et de rapport . On pose A' = h(A) et G' = h(G), et on appelle I le milieu de [EA']. On note la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que .

 Exercice 3 (5 points) - Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur [0, +[ par .

1. Montrer que est dérivable sur [0, +[. Etudier le signe de sa fonction défivée , sa limite éventuelle en +, et dresser le tableau de ses variations.

2. On définit la suite par son terme général .
    a) Justifier que, si , alors .
    b) Montrer, sans chercher à calculer u_n, que, pour tout entier naturel n, .
    c) En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit F la fonction définie sur [0 , +[ par .
    a) Jusifier la dérivabilité sur [0, +[ de la fonction F et déterminer, pour tout réel positif , le nombre .
    b) On pose, pour tout entier naturel n, I_n = .
Calculer I_n.

4. On pose, pour tout entier naturel n, S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n-1.
Calculer S_n. La suite (S_n) est-elle convergente ?

 Exercice 4 (6 points) - Commun à tous les candidats

Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.

1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L'employé interroge 50 personnes de manière indépendante. On considère les événements :
A : " au moins une personne accepte de répondre "
B : " moins de trois personnes acceptent de répondre "
C : " trois personnes ou plus acceptent de répondre "

Calculer les probabilités des événements A, B et C. On arrondira au millième.

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :

    a) Montrer que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par : .
    b) Calculer . En donner l'arrondi au millième. Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1 ?

3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d'entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.
    a) Etudier les variations de la fonction définie sur par ainsi que sa limite en . Dresser son tableau de variations.
    b) Montrer que l'équation admet une solution unique sur , et que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.
    c) En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.

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