Fiche de mathématiques

Bac 2007

Bac Scientifique
Polynésie Française - Session de remplacement Septembre 2007

Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On désigne par (E) l'ensemble des fonctions $f$ continues sur l'intervalle [0 ; 1] et vérifiant les conditions ( $P_{1}$ ), ( $P_{2}$ ) et ( $P_{3}$ ) suivantes :

( $P_{1}$ ) : $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].

( $P_{2}$ ) : $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ .

( $P_{3}$ ) : pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1], $f(x) \le x$ .

Dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan, on note ( $\mathcal{C}_{f}$ ) la courbe représentative d'une fonction $f$ de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation $y = x$ .

À toute fonction $f$ de (E), on associe le nombre réel $I_{f}= \displaystyle\int_{0}^1 [x - f(x)] \text{d}x$ .

1. a) Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E).
La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres. Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 7

Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 7

    b) Montrer que, pour toute fonction $f$ de (E), $I_{f} \ge 0$ .

2. Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $h(x) = 2^x - 1$ .
(On rappelle que, pour tout $x$ réel, $2^x = \text{e}^{x\ln 2}$ ).
    a) Montrer que la fonction $h$ vérifie les conditions ( $P_{1}$ ) et ( $P_{2}$ ).
    b) Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\varphi(x) = 2^x - x - 1$ .
Montrer que, pour tout $x$ de [0 ; 1], $\varphi(x) \le 0$ . (On pourra étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur [0 ; 1]).
En déduire que la fonction $h$ appartient à l'ensemble (E).
    c) Montrer que le réel $I_{h}$ associé à la fonction $h$ est égal à $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{\ln 2}$ .

3. Soit $P$ une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $P(x)=ax^2 +b x+ c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont trois nombres réels tels que $0 < a < 1$ .
On se propose de déterminer les valeurs des réels $a$ , $b$ et $c$ pour que la fonction $P$ appartienne à l'ensemble (E) et que $I_{p} = I_{h}$ .
    a) Montrer que la fonction $P$ vérifie la propriété ( $P_{2}$ ) si et seulement si, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1], $P(x) = ax^2 +(1 - a)x$ .
Montrer que toute fonction $P$ définie sur [0 ; 1] par $P(x)=ax^2 +(1 - a)x$ avec $0 < a < 1$ appartient à (E).
    b) Exprimer en fonction de $a$ le réel $I_{P}$ associé à la fonction $P$ .
    c) Montrer qu'il existe une valeur du réel $a$ pour laquelle $I_{P} = I_{h}$ .
Quelle est cette valeur ?

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3. Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 2

Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 2

On choisit le repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vec{\i},~\vec{\j},~\vec{k}\right)$ tel que $\vec{\i} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DA}}, \vec{\j} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\vec{k} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DH}}$ .

1. a) Donner les coordonnées des points A, C et E.
    b) Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système {(C ; 2) , (E ; 1)}.
    c) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{DL}}$ .

2. Soit $(a , b)$ un couple de réels. On note M le point de la droite (AE) tel que $\overrightarrow{\text{AM}} = a\overrightarrow{\text{AE}}$ et N le point de la droite (DL) tel que $\overrightarrow{\text{DN}} = b\overrightarrow{\text{DL}}$ .
    a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{MN}}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{DL}}$ si et seulement si le couple $(a , b)$ vérifie le système $\left\lbrace\begin{array}{l c l}- a + 2b& =&1 \\ 3a - b& =& 0 \end{array}\right.$
    b) En déduire qu'il existe un seul point M₀ de (AE) et un seul point N₀ de (DL) tels que la droite (M₀N₀) est orthogonale aux droites (AE) et (DL).
    c) Déterminer les coordonnées des points M₀ et N₀ puis calculer la distance M₀N₀.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes :
40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.
On admet qu'au début de chaque année :

chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.

La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu'elle le soit par une plante de type B est 0,3.
La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu'elle le soit par une plante de type A est 0,3.

Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:

$A_{n}$ l'évènement « la plante choisie la $n$ -ième année est de type A »,

$B_{n}$ l'évènement « la plante choisie la $n$ -ième année est de type B »,

$C_{n}$ l'évènement « la plante choisie la $n$ -ième année est de type C ».
On désigne par $p_{n}$ , $q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}$ , $B_{n}$ et $C_{n}$ .
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Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année n°0) on pose :
$p_{0}$ = 0,40, $q_{0}$ = 0,41 et $r_{0}$ = 0,19.

1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.

2. a) Montrer que $p_{1}$ = 0,363 puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$ .
    b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$\left\lbrace\begin{array}{l c l} p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n} \\ q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n} \end{array}\right.$

3. On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\mathbb{N}$ par
$S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$ .
    a) Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,3.
    b) Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ .
    c) En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right)$ , $\left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$ .
Interpréter le résultat.

5 points

exercice 4 - Épreuve de spécialité

Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On considère un triangle OAB et une similitude directe $\sigma$ de centre O, de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$ .
Soit :

les points A' et B', images respectives des points A et B par la similitude $\sigma$ ;

les points I, milieu du segment [A'B] et J, milieu du segment [AB'] ;

le point M milieu du segment [AA'] ;

le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H' image du point H par la similitude $\sigma$ .

Partie A. Étude d'un exemple

Dans cette partie, le point A a pour affixe -6 + 4i], le point B a pour affixe 2 + 4i, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe 4i.
La similitude $\sigma$ est la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Déterminer les affixes des points A', B' et H'.

2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH'). Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 8

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Partie B. Étude du cas général

1. a) Montrer que H' est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A'B').
    b) Montrer que $\overrightarrow{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}$ . On admet que $\overrightarrow{\text{MJ}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{A}'\text{B}'}$ .
    c) En déduire que $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$ et que $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) = \left(\overrightarrow{\text{OH}},\overrightarrow{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \mathbb{Z}$ .

2. On appelle $s$ la similitude directe qui transforme M en O et I en H.
On note K l'image du point J par la similitude $s$ .
    a) Montrer que OK= OH', puis que $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) =\left(\overrightarrow{\text{OK}},\overrightarrow{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \mathbb{Z}$ .
    b) En déduire que le point H' est l'image du point J par la similitude $s$ .
2. Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{IJ}},\overrightarrow{\text{HH}'}\right) = \left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{OH}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \mathbb{Z}$ .
Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH'). Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 10

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Merci à Aurelien_ pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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