Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session Décembre 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

1. Une solution de l'équation $2z + \bar{z} = 9 + \text{i}$ est :

a) $3$

b) i

c) 3 + i

2. Soit $z$ un nombre complexe ; $|z + \text{i}|$ est égal à :

a) $|z| + 1$

b) $|z - 1|$

c) $|\text{i}\bar{z} + 1|$

3. Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$ . Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\bar{z}}$ est :

a) $-\dfrac{\pi}{3} + \theta$

b) $\dfrac{2\pi}{3} + \theta$

c) $\dfrac{2\pi}{3} - \theta$

4. Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si :

a) $n = 3$

b) $n = 6k + 3$ , avec $k$ entier relatif

c) $n = 6k$ avec $k$ relatif

5. Soient A et B deux points d'affixe respective i et -1. L'ensemble des points M d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est :

a) la droite (AB)

b) le cercle de diamètre [AB]

c) la droite perpendiculaire à (AB) passant par O

6. Soit $\Omega$ le point d'affixe 1 - i. L'ensemble des points M d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|$ a pour équation :

a) $y = -x + 1$

b) $(x - 1)^2 + y^2 = \sqrt{5}$

c) $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ réel

7. Soient A et B les points d'affixes respectives 4 et 3i. L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est :

a) 1 - 4i

b) -3i

c) 7 + 4i

8. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z$ est :

a) $\lbrace 1 - \text{i} \rbrace$

b) L'ensemble vide

c) $\lbrace 1 - \text{i}~;~1 + \text{i} \rbrace$

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second.
La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second.
On note :
    D l'évènement « le composant est défectueux » ;
    F₁ l'évènement « le composant provient du premier fournisseur » ;
    F₂ l'évènement « le composant provient du second fournisseur ».

1. a) Dessiner un arbre pondéré.
    b) Calculer $p\left(\text{D} \cap \text{F}_{1} \right)$ , puis démontrer que $p(\text{D}) = \nombre{0,0225}$ .
    c) Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ?

Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à 10^-3 près.

2. Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux soient défectueux ?

3. La durée de vie de l'un de ces composants est une variable aléatoire notée $X$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , avec $\lambda$ réel strictement positif.
    a) Sachant que $p(X > 5) = 0,325$ , déterminer $\lambda$ .
Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$ .
    b) Quelle est la probabilité qu'un composant dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ?
    c) Quelle est la probabilité qu'un composant dure plus de 8 ans sachant qu'il a déjà duré plus de 3 ans ?

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A : Question de cours

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a~;~+ \infty[$ . Compléter la phrase suivante :
On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si ...

2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : Soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre réel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ , et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ , alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $\ell$ .

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \text{e}^x - x - 1$
et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ . On a représenté ci-dessous la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$ .

Bac S Nouvelle Calédonie Décembre 2007 - terminale : image 3

1. Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$ , une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point M d'abscisse $a$ .
2. Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point N d'abscisse $b$ . Vérifier que $b - a = - 1$ .
3. En déduire une construction, à effectuer sur la figure donnée, de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point M d'abscisse 1,5. On fera apparaître le point N correspondant.

Partie C

1. Déterminer graphiquement le signe de $f$ .

2. En déduire pour tout entier naturel non nul $n$ les inégalités suivantes : $(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad \text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}$

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ $\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}$

4. En utilisant l'inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ $\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}$

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de $\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n,$ puis sa limite en $+ \infty$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de ce tétraèdre.

1. a) Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?
Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?
    b) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démontrera de façon anlogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis.
    c) Que représente le point H pour le triangle ABC ?

2. L'espace est maintenant muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On considère les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3).
    a) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
    b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par O et orthogonale au plan (ABC).
    c) Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonnées $\left(\dfrac{36}{49}~;~\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}\right)$ .

3. a) Calculer la distance du point O au plan (ABC).
    b) Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l'aire du triangle ABC.
    c) Vérifier que le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Quel est le reste de la division euclidienne de 6¹⁰ par 11 ? Justifier.
    b) Quel est le reste de la division euclidienne de 6⁴ par 5 ? Justifier.
    c) En déduire que $6^{40} \equiv 1 \:[11]$ et que $6^{40} \equiv 1\:[5]$ .
    d) Démontrer que 6⁴⁰ - 1 est divisible par 55.

2. Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs.
    a) Montrer que l'équation $(E) \qquad 65x - 40y = 1$ n'a pas de solution.
    b) Montrer que l'équation $(E') \qquad 17x - 40y = 1$ admet au moins une solution.
    c) Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $\left(E'\right)$ .
    d) Résoudre l'équation $\left(E'\right)$ . En déduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inférieur à 40 tel que $17x_{0}\equiv 1 \quad [40]$ .

3. Pour tout entier naturel $a$ , démontrer que si $a^{17} \equiv b \quad [55]$ et si $a^{40} \equiv 1 \quad [55]$ , alors $b^{33} \equiv a \quad [55]$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. On pose $z = x + \text{i}y$ , alors $\bar{z} = x - \text{i}y$ et $2z + \bar{z} = 9 + \text{i} \, \Longleftrightarrow \, 2(x + \text{i}y) + x - \text{i}y = 9 + \text{i} \, \Longleftrightarrow \, 3x + \text{i}y = 9 + \text{i}$
$\, \Longleftrightarrow \, 3x = 9 \text{ et } y = 1 \\ \Longleftrightarrow \, x = 3 \text{ et } y = 1$
Donc $\boxed{z = 3 + \text{i}}$ - Réponse c.

2. $|\text{i} \bar{z} + 1| = |\text{i}\bar{z} - \text{i}^2| = |\text{i}(\bar{z} - \text{i})| = |\text{i}| \times |\bar{z} - \text{i}| = |\bar{z} - \text{i}| = |\bar{z + \text{i}}| = | z + \text{i}|$
Donc $\boxed{|z + \text{i}| = |\text{i} \bar{z} + 1|}$ - Réponse c.

3. $\arg \left(\displaystyle \frac{-1+ \text{i} \sqrt{3}}{\bar{z}} \right) = \arg \left(-1 + \text{i}\sqrt{3} \right) - \arg(\bar{z})[2\pi]$
Or $\arg(-1 + \text{i}\sqrt{3}) = \arg \left(2 \left(- \displaystyle \frac{1}{2} + \text{i} \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} \right) \right) = \arg \left(2 e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \right) = \displaystyle \frac{2\pi}{3}$ et $\arg(\bar{z}) = - \arg(z)=-\theta$
Donc $\boxed{\arg \left( \displaystyle \frac{-1 + \text{i}\sqrt3}{\bar{z}} \right) = \displaystyle \frac{2\pi}{3}+\theta}$ - Réponse b.

4. $\sqrt{3} + \text{i} = 2 \left( \dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac{1}{2} \text{i} \right) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ donc :
$(\sqrt3+i)^n=(2e^{i\frac{\pi}{6}})^n=2^ne^{i\frac{n\pi}{6}}$ est imaginaire pur si et seulement si $\dfrac{n\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}[\pi]$
$\Longleftrightarrow \dfrac{n\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ , avec $k$ entier relatif
$\Longleftrightarrow \dfrac{n\pi}{6} = \dfrac{3\pi+6k\pi}{6}$ , avec $k$ relatif
$\Longleftrightarrow \boxed{n=6k+3}$ , avec $k$ relatif - Réponse b.

5. Pour A, $z_{\text{A}} = \text{i}$ donc $|z_{\text{A}} - \text{i}| = |\text{i} - \text{i}| = 0$ et $|z_{\text{A}} + 1| = |\text{i} + 1| = \sqrt{2}$ . Donc A ne fait pas partie de l'ensemble recherché. On peut exclure les réponses a et b.
Donc : Réponse c, la droite perpendiculaire à (AB) passant par O.

6. Si $z = 1 - \text{i} + 5\text{i}e^{\text{i}\theta}$ alors $|z - 1 + \text{i}| = |5\text{i}e^{\text{i}\theta}|=5$ , or $|3 - 4\text{i}| = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .
Donc : Réponse c, $z = 1 - \text{i} + 5\text{i}e^{\text{i}\theta}$

7. $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}) = \arg \left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ si et seulement si $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ est imaginaire pur positif.
Si $z_C=1-4i$ alors $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \dfrac{1-4i-4}{3i-4} = \dfrac{i(3i-4)}{3i-4}=i$
Donc : Réponse a, $z_C=1-4i$ .

8. $\dfrac{z-2}{z-1} = z \Longleftrightarrow \dfrac{z-2}{z-1} = \dfrac{z(z-1)}{z-1}$
$\Longleftrightarrow z - 2 = z(z - 1) \, (z \neq 1) \\ \Longleftrightarrow z^2 - 2z + 2 = 0 \, (z \neq 1)\\ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -4$
Donc : $z = \dfrac{2-2i}{2} = 1 - i \text{ ou } z = \dfrac{2 + 2i}{2} = 1 + i$
Donc : Réponse c, $\lbrace 1 - i ; 1 + i \rbrace$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a)

Bac S Nouvelle Calédonie Décembre 2007 - terminale : image 1

1. b) $p(D \cap F_1) = p(F_1)p_{F_1}(D) = 25\% \times 3\% = 0,0075$
$p(D) = p(D\cap F_1) + p(D\cap F_2) \\ = 0,0075 + p(F_2)p_{F_2}(D)\\ = 0,0075 + 75 \% \times 2 \% \\ = 0,0075 + 0,0150 \\ = 0,0225$

1. c) On cherche $p_D(F_1)$ :
$p_D(F_1) = \dfrac{p(D\cap F_1)}{p(D)} = \dfrac{0,0075}{0,0225} = \dfrac{1}{3}$

2. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de composants défectueux parmi les 20. On a alors :
$p(Y \ge 2) = 1 - p(Y=0) - p(Y=1)$
Il s'agit de la répétition de $n = 20$ épreuves de Bernouilli dont le succès ("le composant est défectueux") est donné par la probabilité $p = p(D) = 0,0225$ . Donc $Y$ suit la loi de Bernouilli de paramètres $n = 20$ et $p = 0,0225$ :
pour tout $k$ compris entre 0 et 20, $p(Y = k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) p^k (1 - p)^{n-k} = \dfrac{20!}{k!(20-k)!} 0,0225^k 0,9775^{20-k}$
Donc : $p(Y=0) = 0,9775^{20} = 0,634$ et $p(Y = 1) = 20 \times 0,0225 \times 0,9775^{19} = 0,292$
D'où : $p(Y \ge 2) = 1 - 0,634 - 0,292 = 0,074$

3. a) $X$ suit un loi exponentielle de paramètre $\lambda$ donc : pour toute durée $t$ , $p(X > t) = e^{-\lambda t}$
Or $p(X > 5) = 0,325$ donc $e^{-5\lambda}=0,325$ ; $-5\lambda = \ln(0,325)$ ; $\lambda = \dfrac{\ln(0,325)}{-5} = 0,225$

3. b) La probabilité qu'un composant dure 8 ans est de :
$p(X > 8) = e^{-0,225 \times 8} = e^{-1,8} = 0,165$
La probabilité qu'un composant dure moins de 8 ans est donc : $p(X \le 8) = 1 - p(X > 8) = 1 - 0,165 = 0,835$

3. c) $p_{X>3} (X > 8) = \dfrac{p(X>8)}{p(X>3)} = \dfrac{0,165}{e^{-0,225 \times 3}} = \dfrac{0,165}{0,509} = 0,325$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A - Question de cours

1. On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+\infty$ si pour tout réel $M > 0$ , il existe un réel $s > 0$ tel que :
Pour tout réel $x > s$ , on a : $|f(x) - \ell| < M$

2. Soit un réel strictement positif $M$ . $g$ et $h$ admettent pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , donc :
il existe un réel $s_1 > 0$ tel que pour tout réel $x > s_1$ , on a : $|g(x) - \ell| < M$ ;
il existe un réel $s_2 > 0$ tel que pour tout réel $x > s_2$ , on a : $|h(x) - \ell| < M$ .
Pour $x$ assez grand, $g(x) \le f(x)\le h(x)$ , donc il existe $s_3 > 0$ tel que pour tout réel $x > s_3$ , on a : $g(x)\le f(x)\le h(x)$ .
Soit $S = max(s_1,s_2,s_3)$ . On a donc , pour tout réel $x > S$ :
$|g(x) - \ell| < M$ donc $-M < g(x) - \ell < M$ donc $-M + \ell < g(x) < M + \ell$
$|h(x) - \ell| < M$ donc $-M < h(x) - \ell < M$ donc $-M + \ell < h(x) < M + \ell$
$g(x) \le f(x) \le h(x)$ . Or $-M + \ell < g(x)$ et $h(x) < M + \ell$ donc $-M + \ell < f(x) < M + \ell$ donc $-M < f(x) - \ell < M$ donc $|f(x) - \ell| < M$
Conclusion : pour tout réel $M > 0$ , on a trouvé un réel $S > 0$ tel que pour tout réel $x > S$ , on a : $|f(x) - \ell| < M$ . Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $\ell$ .

Partie B

1. L'équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . Or :
$f(a) = e^a - a - 1$
pour tout réel $x$ , $f'(x) = e^x - 1$ donc $f'(a) = e^a - 1$
Donc $y = (e^a - 1)(x - a) + e^a - a - 1 = (e^a - 1)x - ae^a + a + e^a - a - 1 = (e^a - 1)x + (1 - a)e^a - 1$
L'équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $a$ a donc pour équation $\boxed{y=(e^a-1)x+(1-a)e^a-1}$

2. $(T)$ coupe $(D)$ au point N d'abscisse $b$ , donc $-b - 1 = (e^a - 1)b + (1 - a)e^a - 1$
$0 = b + be^a - b + (1 - a)e^a \\ 0 = (b + 1 - a)e^a \\ b + 1 - a = 0 \\ \boxed{b-a = -1}$

3. La tangente cherchée passe par le point M de $(\mathcal{C})$ d'abscisse 1,5 et par le point N de $(D)$ d'abscisse $b$ telle que $b-1,5=-1$ donc $b=0,5$ . Ces deux points nous permettent de tracer $(T)$ .

Bac S Nouvelle Calédonie Décembre 2007 - terminale : image 2

Partie C

1. Graphiquement, $f$ est positif ou nul sur $\mathbb{R}$ , la valeur 0 étant atteinte uniquement pour $x = 0$ ; donc pour tout réel $x$ , on a $f(x) \ge 0$ .

2. En particulier, pour $x = \dfrac{1}{n}$ , on obtient $f\left(\dfrac{1}{n} \right)\ge 0$ ; $e^{\frac{1}{n}} - \dfrac{1}{n} - 1 \ge 0$ ; $\boxed{e^{\frac{1}{n}} \ge 1 + \dfrac{1}{n}}$
De même pour $x = -\dfrac{1}{n+1}$ , on obtient $f \left(-\dfrac{1}{n+1} \right) \ge 0$ et par suite $\boxed{e^{-\frac{1}{n+1}} \ge 1 - \dfrac{1}{n+1}}$

3. $e^{\frac{1}{n}} \ge 1 + \dfrac{1}{n} > 0\, \Longleftrightarrow \, \left(e^{\frac{1}{n}} \right)^n \ge \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \, \Longleftrightarrow \, \boxed{e \ge \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n}$

4. $e^{-\frac{1}{n+1}} \ge 1 - \dfrac{1}{n+1} > 0 \, \longleftrightarrow \, \left(e^{-\frac{1}{n+1}} \right)^{n+1} \ge \left(1 - \dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > 0$
$\Longleftrightarrow \, e^{-1} \ge \left(1 - \dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > 0 \\ \Longleftrightarrow \, \dfrac{1}{e} \ge \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n+1}>0 \\ \Longleftrightarrow e \le \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n+1} \text{ en passant à l'inverse } \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{e \le \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n+1}}$

5. On a donc : $\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}} \le \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \le e$
Et en passant à la limite : $e \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \le e$ donc $\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = e}$

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC) donc la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).
Une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toute droite de ce plan, or (BC) est une droite du plan (ABC) donc (OH) est orthogonale à (BC).
Les triangles OAB et OAC sont rectangles en O donc (OA) $\perp$ (OB) et (OA) $\perp$ (OC), donc (OA) est orthogonale au plan (OBC). Or (BC) est une droite de ce plan, donc (OA) est orthogonale à (BC).

1. b) $\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \left(\overrightarrow{\text{AO}} + \overrightarrow{\text{OH}} \right) \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AO}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} + \overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 0 + 0 = 0$ car (AO) et (BC) orthogonales et (OH) et (BC) orthogonales d'après les résultats de la question précédente.
Donc (AH) est orthogonale à (BC).

1. c) (AH) est orthogonale à (BC) donc dans le triangle ABC, (AH) est la hauteur issue de A.
(BH) est orthogonale à (AC) donc dans le triangle ABC, (BH) est la hauteur issue de B.
H est donc le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC, c'est l'orthocentre de ABC.

2. a) L'équation cartésienne d'un plan est de la forme : $ax + by + cz + d = 0$
A(1,0,0) appartient au plan (ABC) donc $a + d = 0$ donc $a = -d$
B(0,2,0) appartient au plan (ABC) donc $2b + d = 0$ donc $b = -\dfrac{d}{2}$
C(0,0,3) appartient au plan (ABC) donc $3c + d = 0$ donc $c = -\dfrac{d}{3}$
On a donc $-dx - \dfrac{d}{2}y - \dfrac{d}{3}z + d = 0$ donc $\dfrac{d}{6}(-6x-3y-2z+6) = 0$ . Le plan (ABC) admet donc pour équation cartésienne : $\boxed{6x+3y+2z-6=0}$

2. b) (d) est orthogonale à (ABC), elle admet donc pour vecteur directeur tout vecteur normal à (ABC). Or un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ admet le vecteur $(a~,~b~,~c)$ pour vecteur normal. Donc le vecteur $\vec{u}(6,3,2)$ est normal à (ABC) et par suite directeur de (d).
$M \in (d) \, \Longleftrightarrow \, \overrightarrow{\text{OM}} = k\vec{u} \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 6k \\ y & 3k \\ z & 2 k \\ \end{array} \right. \, \, , \text{ avec } k \in \mathbb{R}$

2. c) Le point d'intersection H du plan (ABC) et de la droite (d) vérifie donc à la fois l'équation du plan (ABC) et le système précédent.
On remplace dans l'équation cartésienne du plan :
$6(6k) + 3(3k) + 2(2k) - 6 = 0 \, \Longleftrightarrow \, 36k + 9k + 4k - 6 = 0 \, \Longleftrightarrow \, 49k - 6 = 0 \, \Longleftrightarrow \, k = \dfrac{6}{49}$
Donc $x = 6k = \dfrac{36}{49} \, ; \, y = 3k = \dfrac{18}{49} \, ; \, z = 2k = \dfrac{12}{49}$
Le point H a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{36}{49},\dfrac{18}{49},\dfrac{12}{49}\right)$ .

3. a) La distance d'un point $\text{M}(x,y,z)$ à un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est donnée par : $d_{M/P} = \dfrac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Donc $d_{0/P} = \dfrac{|-6|}{\sqrt{36+9+4}} = \dfrac{6}{\sqrt{49}} = \dfrac{6}{7}$
Remarque : cette distance est aussi égale à la longueur $\text{OH} = \sqrt{\left(\dfrac{36}{49}\right)^2 + \left(\dfrac{18}{49}\right)^2 + \left(\dfrac{12}{49}\right)^2} = \dfrac{6}{7}$ .

3. b) $V(\text{OABC}) = \dfrac{A(\text{OAB})\times \text{OC}}{3} = \dfrac{\text{OA} \times \text{OB} \times \text{OC}}{6}$ avec OA = 1, OB = 3 et OC = 2
Donc $\boxed{V(\text{OABC}) = 1}$
Or $V(\text{OABC}) = \dfrac{A(\text{ABC}) \times \text{OH}}{3}$ et $\text{OH} = d_{O/P}$ donc $A(\text{ABC}) = \dfrac{3V(\text{OABC})}{d_{O/P}} = \dfrac{3}{\dfrac{6}{7}} = \dfrac{7}{2}$
$\boxed{A(\text{ABC}) = \frac{7}{2}}$

3. c) $A(\text{ABC})^2 = \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 = \dfrac{49}{4}$
$A(\text{OAB})^2 + A(\text{OBC})^2 + A(\text{OAC})^2 = \left(\dfrac{\text{OA} \times \text{OB}}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\text{OB} \times \text{OC}}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\text{OA} \times \text{OC}}{2} \right)^2 \\ = \dfrac{9+36+4}{4} = \dfrac{49}{4}$
On a donc bien $\boxed{A(\text{ABC})^2 = A(\text{OAB})^2 + A(\text{OBC})^2 + A(\text{OAC})^2}$

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $6^2 = 36 \equiv 3[11] \\ 6^{10} = (6^2)^5 \equiv 3^5 \equiv 81 \times 3 \equiv 4 \times 3 \equiv 12 \equiv 1[11]$
Donc le reste de la division euclidienne de 6¹⁰ par 11 est 1.

1. b) $6^2 = 36 \equiv 1 [5]$ donc $6^4=(6^2)^2\equiv1[5]$ donc le reste de la division euclidienne de 6⁴ par 5 est 1.

1. c) $6^{40}=(6^{10})^4\equiv1^4\equiv1[11]$
$6^{40}=(6^4)^{10}\equiv1^{10}\equiv1[5]$

1. d) $6^{40}\equiv1[11]$ donc 6⁴⁰ - 1 est divisible par 11 et $6^{40} \equiv1[5]$ donc 6⁴⁰ - 1 est divisible par 5. Or 5 et 11 sont premiers entre eux, donc 6⁴⁰ - 1 est divisible par 11 × 5 = 55.

2. a) $65x-40y=5(13x-8y)$ donc 5 divise $65x-40y$ . Or 5 ne divise pas 1, donc l'équation $65x-40y=1$ n'admet aucune solution.

2. b) 17 et 40 sont premiers entre eux, il existe donc au moins un couple $(u~,~v)$ tel que $17u-40v=1$ . L'équation $17x-40y=1$ admet donc au moins une solution.

2. c) 40 = 17 × 2 + 6 ; 17 = 6 × 2 + 5 ; 6 = 5 × 1 + 1
Donc 1 = 6 - 5 × 1 = 6 - (17 - 6 × 2) = -17 + 6 × 3 = -17 + (40 - 17 × 2) × 3 = -17 + 40 × 3 - 17 × 6 = 17 × (-7) + 40 × 3 = 17 × (-7) - 40 × (-3)
Donc (-7,-3) est solution de $17x - 40y = 1$

2. d) $17x-40y=1$ et $17\times(-7)-40\times(-3)=1$ donc $17(x+3)-40(y+3)=0$ donc $17(x+7)=40(y+3)$ .
Or 17 et 40 sont premiers entre eux, donc 17 divise $y+3$ , il existe donc un réel $k$ tel que $y+3=17k$ , donc $y=17k-3$ .
Alors $17x=40y+1=40(17k-3)+1=40\times17k-119$
Donc $x=40k-7$
Les solutions de l'équation $17x-40y=1$ sont donc les couples $(40k-7,17k-3)$ où $k\in\mathbb{Z}$ .
Soit $x_0$ un entier naturel inférieur à 40 tel que $17x_0 \equiv 1[40]$ . Il existe un nombre $y_0$ tel que $17x_0=40y_0+1$
$(x_0,y_0)$ est donc solution de (E'), donc d'après le résultat précédent : il existe un entier relatif $k$ tel que $x_0=40k-7$ . La seule valeur de $k$ possible pour que $x_0$ soit un entier naturel inférieur à 40 est donc $k = 1$ , et alors $x_0 = 33$ .
Il existe donc un unique entier naturel $x_0$ inférieur à 40 tel que $17x_0 \equiv 1[40]$ , il s'agit de $x_0 = 33$ .

3. $b\equiv a^{17}[55]$ donc $b^{33}\equiv (a^{17})^{33}\equiv a^{17\times33}[55]$ .
Or d'après le résultat précédent, $17 \times 33 \equiv 1[40]$ donc il existe un relatif $k$ tel que $17 \times 33 = 40k + 1$ , d'où :
$b^{33}\equiv a^{40k+1}\equiv (a^{40})^k\times a\equiv 1^k\times a\equiv a [55]$
Conclusion, si $a^{17}\equiv b[55]$ et $a^{40}\equiv 1[55]$ , alors $b^{33}\equiv a[55]$ .

Publié par Aurélien/Aurélien le 30-11--0001

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