Fiche de mathématiques

Bac 2007

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Nouvelle Calédonie - Session Mars 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table. En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

4 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O~,~\vec{u} , \vec{v})$ (unité graphique 2 cm).
Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
On considère la fonction $f$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ définie par : $f(z) = \text{i}z + 2$

1. a) Calculer $f(2i)$ .
    b) Vérifier que 1 + i est solution de l'équation $f(z)=z$ .

2. Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives 2i et 1 + i.

3. a) Calculer les distances OA, OB et AB.
    b) En déduire la nature du triangle OAB.

4. Dans cette question, on pose $z = x + \text{i}y$ , $x$ et $y$ désignant deux nombres réels.
    a) Justifier que $f(z) = 2 - y + \text{i}x$
    b) Déterminer la valeur de $y$ pour laquelle $f(z)$ est imaginaire pur.
    c) Que peut-on dire de $f(z)$ si $x = 0$ ?
    d) Existe-t-il un nombre complexe $z$ dont la partie réelle est nulle et tel que $f(z)$ est imaginaire pur ?

5 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$ où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle vérifiant $f \left(\dfrac{\pi}{2} \right) = -\sqrt{3}$ et $f' \left(\dfrac{\pi}{2} \right) = -3$ .

3. Montrer que pour tout réel $x$ on a $f(x) = 2 \cos \left(3x - \dfrac{2\pi}{3} \right)$ .

4. a) Déterminer une primitive de $f$ sur l'intervalle $\mathbb{R}$ .
b) Calculer la valeur moyenne $\nu$ de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{9} \right]$ .

11 points

probleme

Partie A - Etude de la fonction g

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{e^x}{x+1}$ .

1. a) Calculer $g(0)$ .
    b) Vérifier que $g(x) = \dfrac{e^x}{x} \times \dfrac{x}{x+1}$ , lorsque $x > 0$ . En déduire la limite de $g$ en $+\infty$ .

2. Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ .
    a) Montrer que $g'(x) = \dfrac{xe^x}{(x+1)^2}$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0;+\infty[$ .
    b) En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$ .

Partie B - Etude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{e^x}{x+1} + \ln x$ .

1. En remarquant que $f(x) = g(x) + \ln x$ , déterminer à l'aide de la partie A :
    a) la limite de $f$ en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ?
    b) la limite de $f$ en $+\infty$ .
    c) Déterminer, en le justifiant, le sens de variations de $f$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$ .

2. On admet qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ . Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-2.

Partie C - Tracé

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$ dans le repère orthonormal $(O~,~\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 2 cm).

1. a) Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ , en déduire les coordonnées du point d'intersection $\Omega$ des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ .
b) Etudier la position relative des courbes C et Γ.

2. Tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ dans le repère $(O~,~\vec{i},\vec{j})$ et placer le point $\Omega$ .

Merci à Aurelien_ pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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