Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Énergétique
Génie Civil
Session 2007
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
4 points
exercice 1
On considère l'équation différentielle (E) : où y est une fonction numérique deux fois dérivable de la variable réelle .
1. Résoudre l'équation (E).
2. Déterminer la fonction g, solution de cette équation, dont la courbe représentative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
3. Vérifier que, pour tout nombre réel , .
4. Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1].
5 points
exercice 2
i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z² + 2z + 10 = 0.
2. Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :
3. Le plan complexe est muni d'un repère orthogonal d'unité graphique 1 cm.
a) Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :
-1 + 3i, -1 - 3i, 3 - 5i et 7 + 3i.
b) Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.
c) Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
d) En déduire que les quatre points A, B C et D sont sur un même cercle dont on déterminera
le centre et le rayon. Tracer le cercle sur la figure.
11 points
probleme
Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par . On appelle la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal d'unités graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
L'objet de cette première partie est l'étude des limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
1. Déterminer la limite de en +.
2. a) Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif , .
On rappelle que . En déduire la limite de en 0.
b) Montrer que la courbe admet une asymptote dont on donnera une équation.
Partie B - Etude d'une fonction intermédiaire.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par .
1. a) On désigne par g' la dérivée de la fonction g.
Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif , .
b) Etudier le signe de . En déduire que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[. L'étude des limites n'est pas demandée.
2. a) Démontrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
b) Donner un encadrement d'amplitude 10-2 de .
3. Déduire des questions B1. et B2. le signe de , pour appartenant à l'intervalle ]0 ; +[.
Partie C - Etude des variations de la fonction et construction de la courbe associée.
1. a) désignant la dérivée de , calculer et montrer que , pour tout nombre appartenant à l'intervalle ]0 ; +[.
b) En déduire le signe de sur l'intervalle ]0 ; +[.
2. a) Dresser le tableau de variation de la fonction .
b) Calculer une valeur approchée à 10-1 près de , en prenant 0,6 pour valeur approchée de .
3. a) Compléter le tableau ci-dessous.
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
à 10-1 près
b) Construire l'asymptote et la courbe pour appartenant à l'intervalle ]0 ; 2,5].
Partie D - Calcul d'aire
1. Montrer que la fonction F, définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par est une primitive de .
2. On désire calculer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et .
a) Hachurer la partie sur le dessin.
b) Déterminer la valeur exacte de l'aire de en unités d'aires, puis en cm².
1.Ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) :
donc
Donc :
Rappel : les solutions de l'équation différentielle sont données par : où A et B sont deux réels quelconques.
2. La courbe représentative de g passe par le point donc :
La courbe représentative de g admet une tangente horizontale au point d'abscisse donc .
Avec
En résolvant le système composé des 2 équations d'inconnues A et B, on trouve :
Donc :
3. On utilise la formule d'addition :
(car )
Donc :
4. Valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [a ; b] :
Primitive de g :
exercice 2
1.Résolution de z² + 2z + 10 = 0 : donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées.
2.Résolution du système :
3. a)
3. b)
On a : AB² + AD² = BD² donc, d'après Pythagore, le triangle BAD est rectangle en A.
3. c)
On a : BC² + CD² = BD² donc, d'après Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C.
3. d) Les triangles BAD et BCD sont rectangles et ont le segment [BD] pour hypoténuse. Donc, les points A et C appartiennent au cercle de diamètre [BD], donc les points A, B, C et D sont sur le cercle dont le centre M est le milieu du segment [BD], et de rayon 5cm (BD/2).
Conclusion : les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre M(3 ; 0) de rayon 5.
probleme
Partie A
1.Limite en + :
2. a)Limite en 0 : En développant, on vérifie bien que :
2. b) D'après le résultat de la question précédente, on en déduit que la courbe admet l'axe des ordonnées, d'équation , pour asymptote verticale.
Partie B - Etude d'une fonction intermédiaire.
1. a)
1. b)Etude du signe de : donc le numérateur de est strictement positif pour tout strictement positif.
2. a)Existence et unicité de la solution de l'équation sur l'intervalle : La fonction g est dérivable sur ;
la fonction g est strictement croissante sur ;
;
Donc l'équation admet une solution unique sur .
2. b) En utilisant la table de la calculatrice, on obtient les encadrements suivants :
3. On déduit des questions précédentes le tableau de signes suivant pour la fonction g :
Partie C - Etude des variations de la fonction et construction de la cours associée.
1. a)Calcul de la dérivée de la fonction : Dérivée du produit : donc
donc
Dérivée du quotient : donc
donc
Donc :
1. b)Signe de :
2. a)Variations de :
2. b)
3. a)
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
à 10-1 près
3,4
2,2
2,2
2,7
3,6
4,8
6,5
8,8
11,9
16,0
3. b)
Partie D - Calcul d'aire
1. D'après la question 1.a) de la partie C, on a : .
Donc F est une primitive de .
2. a) Voir figure.
2. b)Calcul de l'aire :
La fonction étant positive sur [1 ; 2], alors l'intégrale I représente l'aire de en unités d'aires :
Publié par Cel/jamo
le
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