L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

 Exercice 1 (4 points)

On considère l'équation différentielle (E) : où y est une fonction numérique deux fois dérivable de la variable réelle .

1. Résoudre l'équation (E).

2. Déterminer la fonction g, solution de cette équation, dont la courbe représentative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

3. Vérifier que, pour tout nombre réel , .

4. Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1].

 Exercice 2 (5 points)

i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z² + 2z + 10 = 0.

2. Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthogonal d'unité graphique 1 cm.
   a) Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :
-1 + 3i, -1 - 3i, 3 - 5i et 7 + 3i.
   b) Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.
   c) Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
   d) En déduire que les quatre points A, B C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer le cercle sur la figure.

 Problème (11 points)

Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par . On appelle la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal d'unités graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. L'objet de cette première partie est l'étude des limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

1. Déterminer la limite de en +.

2. a) Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif , .
On rappelle que . En déduire la limite de en 0.
   b) Montrer que la courbe admet une asymptote dont on donnera une équation.

Partie B - Etude d'une fonction intermédiaire.

Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par .

1. a) On désigne par g' la dérivée de la fonction g.
Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif , .
   b) Etudier le signe de . En déduire que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[. L'étude des limites n'est pas demandée.

2. a) Démontrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
   b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de .

3. Déduire des questions B1. et B2. le signe de , pour appartenant à l'intervalle ]0 ; +[.

Partie C - Etude des variations de la fonction et construction de la cours associée.

1. a) désignant la dérivée de , calculer et montrer que , pour tout nombre appartenant à l'intervalle ]0 ; +[.
   b) En déduire le signe de sur l'intervalle ]0 ; +[.

2. a) Dresser le tableau de variation de la fonction .
   b) Calculer une valeur approchée à 10^-1 près de , en prenant 0,6 pour valeur approchée de .

3. a) Compléter le tableau ci-dessous.

	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5
à 10-1 près

   b) Construire l'asymptote et la courbe pour appartenant à l'intervalle ]0 ; 2,5].

Partie D - Calcul d'aire

1. Montrer que la fonction F, définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par est une primitive de .

2. On désire calculer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et .
   a) Hachurer la partie sur le dessin.
   b) Déterminer la valeur exacte de l'aire de en unités d'aires, puis en cm².

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