Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

Exercice 1 (8 points)

On lâche une balle à une hauteur de 1 mètre. Celle-ci effectue alors plusieurs rebonds sur le sol avant de s'immobiliser. On note la hauteur (exprimée en centimètres) par rapport au sol de chaque rebond.
Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus :

Numéro du rebond : n_i	1	2	3	4	5	6	7	8
Hauteur du rebond : h_i	55	30	17	9	5	3	1,5	0,8

1. Tracer le nuage de points M_i( n_i, h_i). Un ajustement affine paraît-il justifié ?

Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs numériques seront arrondies au dixième.

2. Compléter le tableau suivant.

n_i	1	2	3	4	5	6	7	8
y_i = ln(h_i)	4,0

3. Tracer dans un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm) le nuage de points P_i(n_i, y_i). Un ajustement affine paraît-il justifié ?

4. Recherche d'un ajustement affine
   a) On note G₁ le point moyen du sous-nuage formé par les points P₁, P₂, P₃ et P₄ et G₂ le point moyen du sous-nuage formé par les points P₅, P₆, P₇ et P₈. Déterminer les coordonnées des points G₁ et G₂.
   b) Placer les points G₁ et G₂ sur le graphique et construire la droite (G₁G₂).
   c) Lire graphiquement sur le graphique l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de (G₁G₂) (mettre en évidence sur le graphique les éléments qui ont permis cette lecture).

5. En utilisant le résultat de la question 4. c), exprimer, en fonction de son numéro n, la hauteur estimée du n-ième rebond.

6. A partir de quel rebond, la hauteur estimée de celui-ci est-elle inférieure à un millimètre ?

Exercice 2 (12 points)

Partie 1 : lecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction $\text{[math]}$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\text{[math]}$ [ et sa tangente au point d'abscisse 2.

Déterminer, à l'aide de lectures graphiques, en justifiant par une phrase chaque réponse :
   a) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ;
   b) le nombre de solution de l'équation $\text{[math]}$ puis une valeur approchée de chacune d'elles;
   c) l'ensemble des solutions de l'inéquation $\text{[math]}$ ;
   d) $\text{[math]}$ , nombre dérivé de $\text{[math]}$ en 2;
   e) le nombre de solution(s) de l'équation $\text{[math]}$ puis une valeur approchée de chacune d'elles;
   f) l'ensemble des solutions de l'inéquation $\text{[math]}$ ;
   g) une estimation de $\text{[math]}$ .

Partie 2 : étude d'une fonction
On admet que la fonction $\text{[math]}$ représentée dans la partie 1 est définie par $\text{[math]}$ .
   a) Déterminer $\text{[math]}$ . Que peut-on en déduire ?
   b) Déterminer $\text{[math]}$ . En déduire $\text{[math]}$ .
   c) p est la fonction définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ . Etudier le signe de $\text{[math]}$ .
   d) Calculer $\text{[math]}$ puis montrer que $\text{[math]}$ .
   e) Etudier le signe de $\text{[math]}$ sur ]0 , + $\text{[math]}$ [. En déduire le sens de variation de $\text{[math]}$ .