Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré, réservée eu problème, sera distribué au candidat.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

Partie I

1. On considère la suite arithmétique $\left(\theta_{n}\right)$ , de raison $\dfrac{\pi}{2}$ et de premier terme $\theta_{0} = \dfrac{\pi}{4}$ .
Exprimer $\theta_{n+1}$ , en fonction de $\theta_{n}$ .

2. On considère la suite géométrique $\left(\rho_{n}\right)$ de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $\rho_{0} = 8$ .
Exprimer $\rho_{n+1}$ en fonction de $\rho_{n}$ .

Partie II

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ (unité graphique : 1 cm).
On considère les nombres complexes $z_{0}, z_{1}, \cdots, z_{n}$ de modules respectifs $\rho_{0}, \rho_{1}, \cdots, \rho_{n}$ , et d'arguments respectifs $\theta_{0}, \theta_{1}, \cdots, \theta_{n}$ .
On note alors $M_{0}, M_{1}, \cdots, M_{n}$ les points d'affixes respectives $z_{0}, z_{1}, \cdots, z_{n}$ .

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

$n$	0	1	2	3
$\rho_{n}$	8
$\theta_{n}$	$\dfrac{\pi}{4}$

2. En utilisant les résultats du tableau précédent, placer les points $M_{0}, M_{1}, M_{2}$ et $M_{3}$ sur la copie et tracer la ligne brisée $M_{0}M_{1}M_{2}M_{3}$ .

5 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y' + 5y = 0$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2. On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 2$ .
    a) Montrer alors en utilisant la question 1. que $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}$ .
    b) Calculer $f'(0)$ .
    c) Sur l'annexe 1 à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [-0.5 ; 3]. Construire, sur la figure de l'annexe 1 la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0.

Bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2007 - terminale : image 2

3. On note $D$ le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$ .
Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l'axe des abscisses.

Bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2007 - terminale : image 1

On note $V$ le volume, exprimé en unités de volume, de ce solide.
Calculer $V$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-1 près).
On rappelle que $\displaystyle V = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x$ .

11 points

probleme

I) On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + 1$ .

1. a) Calculer la limite de la fonction $g$ en 0.
    b) Calculer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ .

2. On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .
Calculer $g'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$ , $g'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x^2}$ .

3. Étudier le signe de $g'(x)$ , suivant les valeurs du nombre réel $x$ .
Donner le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ (on indiquera la valeur exacte de $g(\text{e})$ .

4. a) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .
    b) Déterminer la valeur du nombre réel $x_{0}$ arrondie au dixième.
    c) Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$ , suivant les valeurs de $x$ .

II. On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2 + x$ . On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

Sur l'annexe 2, à rendre avec la copie, on a construit la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle ]0 ; 3].

Bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2007 - terminale : image 3

1. a) Calculer la limite de la fonction $f$ en 0.
Interpréter graphiquement ce résultat.
    b) Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .
Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$ , $f'(x) = g(x)$ .

3. a) Donner le tableau de variations de la fonction $f$ .
    b) Calculer la valeur de $f\left(x_{0}\right)$ arrondie au dixième (on utilisera pour $x_{0}$ la valeur 0,7).

4. a) Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
    b) Étudier la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}$ .
    c) Construire la droite $\mathcal{T}$ sur la figure de l'annexe 2.

Voir la correction

exercice 1

Partie I

1. La suite $\left(\theta_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{\pi}{2}$ , donc :
$\boxed{\text{ Pour tout }n \text{ de }\mathbb{N} \text{ , } \theta_{n+1}=\theta_n+\dfrac{\pi}{2}}$

2. La suite $\left(\rho_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ , donc :
$\boxed{\text{ Pour tout }n \text{ de }\mathbb{N} \text{ , } \rho_{n+1}=\dfrac{1}{2}\rho_n}$

Partie II

$n$	0	1	2	3
$\rho_{n}$	8	4	2	1
$\theta_{n}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{4}$	$\dfrac{7\pi}{4}$

2. Construction : On sait que $OM_0=8 \text{ et que }\theta_{0} =\dfrac{\pi}{4}$ . On trace un arc de cercle de centre O et de rayon 8. Celui-ci coupe la "première bissectrice" au point $M_0$ On procède de manière analogue pour les trois autres points.

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exercice 2

1. $4y^{'}+ 5y = 0\Longleftrightarrow y'=-\dfrac{5}{4}y$
On en déduit : $\boxed{\text{ Les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions de la forme } y:x\mapsto ke^{\frac{5}{4}x} \text{ ( }k\in\mathbb{R}\text{)}}$

2. a) $f$ étant solution de l'équation différentielle $(E)$ , il existe donc un réel $k$ tel que: $f(x)= ke^{\frac{5}{4}x}$
$f(0)=2\Longleftrightarrow ke^{\frac{5}{4}\times 0}=2\Longleftrightarrow k=2$
Conclusion : $\boxed{f \text{ est définie sur } \mathbb{R} \text{ par : } f(x) = 2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}}$

2. b) On a $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ , donc :
Pour tout réel $x$ , $4f'(x)+5f(x)=0 \Longleftrightarrow f'(x)=-\dfrac{5}{4}f(x)$
Il s'ensuit : $f'(0)=-\dfrac{5}{4}f(0)=-\dfrac{5}{4}\times 2=\boxed{-\dfrac{5}{2}}$

2. c) À partir du point A on se déplace horizontalement de 1 et verticalement vers le bas de 2,5 pour arriver à un autre point de la tangente.

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3. D'après le rappel, il est demandé de calculer $\displaystyle V = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x.$
$\displaystyle V = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x=\pi\int_{0}^2\left(2\text{e}^{- \frac{5}{4}x}\right)^2\:\text{d}x=4\pi\int_{0}^2\text{e}^{- \frac{5}{2}x}\:\text{d}x=4\pi\left[-\dfrac{2}{5}\text{e}^{- \frac{5}{2}x}\right]_0^2=-\dfrac{8\pi}{5}\left(\text{e}^{-5}-1\right)=\boxed{\dfrac{8\pi}{5}\left(1-\dfrac{1}{e^5}\right)}$
Valeur approchée à $10^{-1}$ près : $\boxed{V\approx 5,0 \text{ (u.v)}}$

probleme

I.
1. a) D'après le cours, $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln x= -\infty \text{ et } \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty \text{, donc } \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty$
On en déduit : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} g(x)=\lim_{x\to 0^+} 2\dfrac{\ln x}{x} + 1=2\times (-\infty)+1=\boxed{-\infty}$

1. b) D'après le cours, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ , donc :
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty} 2\dfrac{\ln x}{x} + 1=2\times 0+1=\boxed{1}$

2. $g$ est définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + 1$ , elle est dérivable sur cet intervalle et on a :
$\text{Pour tout }x \text{ de } ]0;+\infty[\text{ , } g'(x)=2\left(\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}\right)=\boxed{\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}}$

3. Puisque $x^2> 0$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ , $g'(x)$ a le même signe que $1-\ln x$ .
La fonction $\ln$ étant croissante sur $]0,+\infty[$ , on a : $\begin{cases}1-\ln x\ge 0 \Longleftrightarrow\ln e\ge \ln x\Longleftrightarrow e\ge x\\1-\ln x\le 0\Longleftrightarrow \ln e\le \ln x\Longleftrightarrow e\le x\end{cases}$
On en déduit : $\boxed{g'(x)=0 \text{ pour }x=\text{e} \qquad g'(x)> 0 \text{ pour tout }x \text{ de } ]0,e[ \text{ et } g'(x)< 0 \text{ pour tout }x \text{ de } ]e,+\infty[}$
Tableau de variations : $\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x & 0 & & & e & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre & & + &\barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} g & \dbarre & -\infty & \croit & \dfrac{2+e}{e} & \decroit & 1 \\ \hline \end{tabvar}$
Remarque : $g(e)= 2\dfrac{\ln e}{e}+1=\dfrac{2}{e}+1=\boxed{\dfrac{2+e}{e}}$

4. a) On remarque dans un premier temps que $0\text{ n'appartient pas à l'intervalle }\left]1~;~\dfrac{2+e}{e}\right]$ , donc que l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution dans $[e~;~+\infty[$
La fonction $g$ est définie, dérivable et strictement croissante sur $\left]0;e\right]$ , d'autre part, $\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=-\infty\\g(e)= \dfrac{2+e}{e} >0\end{cases}$
Comme $0\in\left]-\infty~;~\dfrac{2+e}{e}\right[\text{ l'équation }f(x)=0$ admet une solution unique $x_0$ sur $\left]0,e\right[$ .

4. b) On a $g(0,70)\approx -0,02<0$ et $g(0,71)\approx 0,04>0$ , donc $x_0\approx \boxed{0,7}$ (arrondi au dixième)

4. c) D'après le tableau de variations et 4. b):
$\boxed{g(x)=0 \text{ pour }x=x_0\qquad g(x)< 0 \text{ pour tout }x \text{ de }]0;x_0] \text{ et } g(x)> 0 \text{ pour tout }x \text{ de } [x_0;+\infty[}$

II.
1. a) On sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln x=-\infty \text{, donc } \displaystyle\lim_{x\to 0^+} (\ln x)^2=+\infty$
Donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 0^+} (\ln x)^2 + x=+\infty+0=\boxed{+\infty}$
Interprétation graphique : $\boxed{\text{ La droite d'équation }x=0 \text{ est asymptote à } \mathcal{C}}$

1. b) On sait que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \ln x=+\infty \text{, donc } \displaystyle\lim_{x\to +\infty} (\ln x)^2=+\infty$
Conclusion : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x\to +\infty} (\ln x)^2 + x=+\infty+\infty=\boxed{+\infty}$

2. $f$ est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=(\ln x)^2 + x$ , elle est dérivable sur cet intervalle et on a :
Pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ , $f'(x)=2\dfrac{1}{x}\ln x+1=\dfrac{2\ln x}{x}+1=\boxed{g(x)}$

3. a) Le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ (voir 4. c))
D'où le tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x & 0 & & & x_0\approx 0,7 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & - &\barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre & +\infty & \decroit & f(x_0) & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

3. b) $f(0,7)= \ln^2(0,7)+0,7\approx 0,8$ donc $f(x_0)\approx 0,8$

4. a) D'après le cours, une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ est :
$\mathcal{T} \text{ : } y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $\begin{cases} f'(1)=g(1)=1\\f(1)= (\ln 1)^2+1=1\end{cases}$
Il s'ensuit : $\mathcal{T} \text{ : } y=f'(1)(x-1)+f(1)\text{ soit } \mathcal{T} \text{ : } y=(x-1)+1 \text{ ou encore } \boxed{\mathcal{T} \text{ : } y=x}$

4. b) Il s'agit d'étudier le signe de la différence $f(x)-y$
On a pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ , $f(x)-y=(\ln x)^2+x-x=(\ln x)^2$
Puisque pour tout $x$ de $]0,+\infty[ \text{ , } (\ln x)^2\ge 0$ , donc : $f(x)-y\ge 0$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$
On en déduit que : $\boxed{ \mathcal{C} \text{ est toujours au-dessus de } \mathcal{T} \text{ sur } ]0,+\infty[}$

4. c)

Bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2007 - terminale : image 7

Publié par TP/dandave le 17-05-2014

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