L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré, réservée eu problème, sera distribué au candidat.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (4 points)

1. Résoudre l'équation différentielle : (E) y' - 2y = 0.

2. On note la solution sur de l'équation différentielle (E), vérifiant et g la solution sur de l'équation différentielle (E), vérifiant g(0) = 2.
   a) Vérifier que, pour tout nombre réel , .
   b) Exprimer en fonction de .

3. Sur la figure ci-dessous, figurent les courbes représentatives et des fonctions et g dans un repère orthonormal .
Soit la droite d'équation y = 2.
Cette droite coupe respectivement les courbes et aux points A et B.

   a) Tracer la droite et placer les points A et B.
   b) Déterminer le coefficient directeur de la droite tangente en A à la courbe et celui de la droite tangente en B à la courbe .
   c) Quelle remarque peut-on faire sur les deux tangentes et ?

 Exercice 2 (6 points)

Une urne contient quatre boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4.
Une expérience aléatoire se déroule de la manière suivante :
On tire au hagard une première boule de l'urne et on note son numéro. Après avoir remis cette boule dans l'urne, on en tire au hasard une seconde dont on note aussi le numéro.
A l'issue de cette expérience, on obtient un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple (2 , 3) est différent du couple (3 , 2)).

1. A l'aide d'un arbre ou d'un tableau, établir la liste des 16 couples possibles.

2. Dans cette question, on donnera les probabilités sous la forme de fractions de dénominateur 16.
   a) On note A l'événement " obtenir un couple de nombres pairs ".
Montrer que la probabilité de l'événement A est .
   b) On note B l'événement " obtenir un couple de nombres impairs ".
Calculer la probabilité de l'événement B.
   c) On note C l'événement " obtenir un couple de nombres de parité différente ".
Calculer la probabilité de l'événement C.

3. On organise un jeu.
Un joueur mise 2 € et réalise ensuite l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.

Si l'événement A est réalisé le joueur reçoit 8 € de l'organisateur du jeu ;
Si l'événement B est réalisé le joueur reçoit 4 € de l'organisateur du jeu ;
Si l'événement C est réalisé le joueur donne 4 € à l'organisateur du jeu.

On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.
Par exemple, s'il obtient le couple (2 , 2) son gain est 6 €.
   a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
   b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
   c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
   d) On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.
Quelle aurait dû être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable ?

 Problème (10 points)

Partie I : Etude de la fonction f.

On considère la fonction définie sur par .
On note la courbe représentative la fonction dans un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm).

1. a) Déterminer la limite de la fonction en +.
   b) Déterminer la limite de la fonction en - (on donne ).
En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera l'équation.

2. On note la fonction dérivée de la fonction .
   a) Montrer que, pour tout nombre réel , .
   b) Etudier le signe de suivant les valeurs de .
   c) Donner le tableau des variations de la fonction (préciser la valeur exacte de chaque extremum).

3. a) Montrer que l'équation possède une unique solution dans l'intervalle [2 ; 3].
   b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 du nombre .

4. Tracer la courbe et placer son point A d'abscisse .

Partie II: Calcul d'une intégrale.

1. On désigne par F la fonction définie sur par .
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction sur .

2. Calculer l'intégrale .

3. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

voir la correction

cours particuliers