L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (6 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm).

Partie A
Soit où z est une variable complexe.
   a) Vérifier que .
   b) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation .
   b) En déduire les solutions dans de l'équation P(z) = 0.

Partie B
1. Placer les points A, B et C d'affixes respectives .

2. a) Déterminer le module et un argument de z_A, z_B et z_C.
   b) Donner l'écriture exponentielle de z_A, z_B et z_C.

3. R est la rotation de centre O et d'angle .
   a) Donner l'écriture complexe de R.
   b) Montrer que l'image de A par R est B.
   c) Calculer, sous forme algébrique l'affixe de D, image de B par R.

4. Soit le cercle de diamètre [CD].
   a) Justifier que O est le centre de .
   b) Montrer que les points A et B appartiennent à .
   c) En déduire la nature des triangles CAD et CBD.

 Exercice 2 (4 points)

La tension u aux bornes d'un circuit électrique vérifie l'équation différentielle (E) : dans laquelle u'' désigne la dérivée seconde de la tension par rapport au temps t.

1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Déterminer la solution particulière de (E) telle que : .

3. a) Vérifier que, pour tout réel t, on a :
   b) Calculer la valeur moyenne de la fonction sur .

 Problème (10 points)

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction définie sur ]0 ; +[ par

1. a) Calculer .
   b) Etudier le signe de .
   c) Dresser le tableau de variation de g (l'étude des limites de g n'est pas demandée).

2. Donner une valeur approchée de g(2) à 10^-2 près, en déduire le signe de sur ]0 ; +[.

Partie B : Etude et représentation graphique d'une fonction.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal , unité graphique 1 cm.
Soit la fonction définie sur ]0 , +[ par et sa représentation graphique dans .

1. Montrer que pour tout réel de ]0 , +[ on a : .

2. a) Déterminer les limites en 0 et en + de .
   b) En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe , et en donner une équation.

3. a) Déterminer la dérivée de sur ]0 , +[.
   b) Vérifier que pour tout réel de ]0 , +[ on a : et en déduire le signe de .
   c) Dresser le tableau de variations de .

4. Soit la droite d'équation .
   a) Montrer que est asymptote à en +.
   b) Calculer les coordonnées du point d'intersection A de et de .
   c) Etudier la position relative de et de .

5. Tracer dans le repère la courbe et la droite .

Partie C : Calcul d'une aire.

l. Soit h la fonction définie sur ]0 , +[ par .
   a) Vérifier qu'une primitive de h sur ]0 , +[ est la fonction H définie par .
   b) En déduire une primitive de sur ]0 , +[.

2. a) Hachurer la partie du plan limitée par la courbe et la droite , et les droites d'équation .
   b) Calculer en cm² l'aire de la partie du plan hachurée, on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 10^-2 près.

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