7 points

exercice 1

Dans une université, 55 % des étudiants possèdent un ordinateur. Parmi les étudiants ayant un ordinateur :
    20 % ont un violon ;
    30 % ont une flûte ;
    Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur :
    5 % ont un violon ;
    15 % ont une flûte ;
    Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
On choisit au hasard un étudiant de cette université. Tous les étudiants ont la même probabilité d'ètre choisis.
On définit les évènements suivants :
    D : « l'étudiant a un ordinateur » ;
    V : « l'étudiant a un violon » ;
    F : « l'étudiant a une flûte » ;
    R : « l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique ».
On rappelle que désigne l'évènement contraire de l'évènement D.

1. Déterminer la probabilité pour que l'étudiant n'ait pas d'ordinateur.

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant, correspondant à la situation décrite par l'énoncé.
3. a) Calculer la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un ordinateur et un violon ».
    b) Calculer la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un violon et n'a pas d'ordinateur ».
    c) En déduire que la probabilité de l'évènement V est égale à 0,1325.
Quelle est la probabilité de l'évènement « l'étudiant a un ordinateur » sachant qu'il a un violon ?
On donnera la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10^-2 près.


6 points

exercice 2

Questionnaire à choix multiple Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte.
Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse.
Toute réponse bonne donne 1 point, toute mauvaise réponse enlève 0,5 point, une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun. S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à 0.

On désigne par log le logarithme décimal et par le logarithme népérien.

1. Soit T le nombre réel tel que : . Alors on peut affirmer que :

a)

b)

c)

2. On rappelle que, dans la gamme de tempérament égal :
    l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison où est un nombre réel positif tel que .
    une quarte juste contient cinq demi-tons.
Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est :

a) égal à

b) inférieur à

c) égal à

3. La somme d'une fonction sinusoïdale de fréquence 400~Hz et d'une fonction sinusoïdale de fréquence 800 Hz, est :
    a) non périodique
    b) périodique de fréquence 1200 Hz
    c) périodique de fréquence 400 Hz

4. On rappelle que :
Si et sont des entiers naturels, « congru à modulo » s'écrit : .
L'équation d'inconnue , entier compris entre 0 et 6 :

a) a une solution et une seule

b) n'a aucune solution

c) a deux solutions

5. L'ensemble des solutions de l'inéquation d'inconnue réelle est :

a) l'intervalle

b) l'intervalle

c)

6. On considère une échelle de fréquence logarithmique graduée de 40 à 10 000 Hz et de longueur totale 24 cm.
Sachant que de 40 Hz à 10 000 Hz, il y a entre sept et huit octaves, on peut alors affirmer que sur cette échelle :
    a) toutes les octaves ont une « largeur » de 15 mm environ.
    b) toutes les octaves ont une « largeur » de 3 cm environ.
    c) l'octave DO₄-DO₅ a une « largeur » bien supérieure à l'octave DO₃-DO₄.
On considère ici que la note DO₄ correspond à une fréquence de 520 Hz.


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. Soit la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :     .
    a) On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout de l'intervalle .
    b) Étudier le signe de ) pour tout de l'intervalle .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées.
    d) En déduire que, pour tout de l'intervalle .

2. Soit la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :     .
On désigne par , la fonction dérivée de la fonction .
    a) Montrer que, pour tout de J'intervalle .
    b) À l'aide des résultats de la question 1., en déduire le signe de pour tout de l'intervalle .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées.
    d) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant, à chaque fois, une valeur décimale approchée à près :

	0,75	1	1,5	2	3	4	5	6	7

    e) Tracer la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [0,75 ; 7], dans un repère orthononnal du plan d'unité graphique 2 cm.


7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

A. On considère la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :     .

1. Calculer le réel .

2. a) Montrer que, pour tout réel tel que , on a .
    b) En déduire le signe de lorsque appartient à l'intervalle .
Par la suite, on admettra que si appartient à l'intervalle alors .


B. On considère la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par :     .
1. Calculer les réels et .

2. a) On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout de l'intervalle .
    b) En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .


C.
1. Calculer l'intégrale I définie par .

2. Sur le graphique de la fin, on a tracé la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
On considère le domaine plan délimité par les droites d'équation et , l'axe des abscisses et la courbe .
Déduire du calcul de l'intégrale I, la mesure , exprimée en cm², de ce domaine.


FEUILLE ANNEXE

ENSEIGNEMENT RENFORCÉ (au choix) Exercice 4 : annexe