Bac Littéraire
Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Métropole - Session 2008

Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

Le candidat doit traiter les deux exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

10 points

exercice 1

L'annexe 1 est une feuille automatisée de calcul.

épreuve anticipée du bac littéraire 2008 - terminale : image 1

D'après INSEE, 2007
Annexe 1

On a recensé entre 1997 et 2006 le nombre mensuel de mariages en France métropolitaine.
Les résultats de l'enquête sont regroupés dans le tableau 1 donné en annexe 1.

1. a) Compléter les cellules M4 et M5 de l'annexe 1, les résultats seront arrondis à 0,1 %.
On ne demande pas le détail des calculs.
   b) Donner une formule qui, placée dans la cellule M4 puis recopiée vers le bas jusqu'en M16, permet d'obtenir ces fréquences.
   c) Donner une formule qui, placée dans la cellule B16 puis recopiée vers la droite jusqu'en L16, permet d'obtenir les totaux par colonne.

2. Dans cette question, les résultats seront arrondis à 0,1 %.
   a) Quel est le pourcentage d'évolution du nombre total de mariages de 1997 à 2000 ?
Préciser s'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution.
   b) Quel est le pourcentage d'évolution du nombre total de mariages de 2000 à 2006 ?
Préciser s'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution.

3. Le tableau 2 de l'annexe 1 présente, calculé pour chaque mois de l'année le nombre moyen de mariages entre les années 1997 et 2006 ainsi que l'écart-type correspondant. Les nombres sont arrondis à l'unité.
   a) Compléter le contenu de la cellule G25 dans le tableau 2. Arrondir à l'unité.
   b) Donner une formule qui, placée dans la cellule G25 puis recopiée vers le bas jusqu'en G36, permet d'obtenir ces moyennes.
   c) Les nombres moyens de mariages en juin et juillet sont sensiblement les mêmes - environ 50 000 mariages - alors que les écarts-types sont très différents. Interpréter cette différence.

10 points

exercice 2

Dans cet exercice les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Le dessin ci-dessous reprend une carte d'un massif montagneux dont l'échelle est précisée. Le relief est représenté par des lignes du niveau dont les altitudes sont exprimées en mètres.

épreuve anticipée du bac littéraire 2008 - terminale : image 2

PARTIE 1

Un randonneur part du point de départ D pour arriver au sommet S suivant le trajet indiqué sur le dessin.

1. A la lecture de cette carte, le chemin entre les points A et B semble plus pentu que le chemin entre les points B et C. Expliquer pourquoi.

2. Dans le repère donné en annexe 2 le point D est de coordonnées (0 ; 1000).
Représenter dans ce repère les points D, A, B, C et S du trajet indiqué sur le dessin ci-dessus. En reliant les points, tracer ensuite un profil du parcours du randonneur.

PARTIE 2

Sur ce parcours, la température diminue de 0,01 degré Celsius lorsque l'altitude du randonneur augmente de 1 mètre. Au point de départ D, la température est de 25 degrés Celsius.
Pour tout entier naturel n, on note u_n la température (en degrés Celsius) sur le parcours du randonneur à l'altitude 1 000 + n mètres.

1. Justifier que u₂ = 24,98. Quelle est la valeur de u₁₀ ?

2. Exprimer u_n+1 en fonction de u_n pour tout entier naturel n.

3. Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Pour tout entier naturel n, exprimer u_n en fonction de n.

4. Quelle température fait-il sur le parcours à l'attitude 1 560 mètres ?

5. A partir de quelle altitude la température sera-l-elle inférieure ou égale à 20 degrés Celsius ?
Justifier votre réponse.

épreuve anticipée du bac littéraire 2008 - terminale : image 3

Annexe 2

Voir la correction

exercice 1

1. a) La cellule M4 contient la proportion de mariages des mois de janvier 1997 à 2006 par rapport au nombre total de mariages entre 1997 et 2006.
De même, la cellule M5 contient la proportion pour les mois de février.
En M4 : $p_1 = \displaystyle \frac{67664}{2797964} \approx 0,0242 \approx \boxed{2,4\%}$
En M5 : $p_2 = \displaystyle \frac{90528}{2797964} \approx 0,0324 \approx \boxed{3,2\%}$

1. b) La valeur dans la cellule M4 est égal au contenu de la cellule L4 divisé par le contenu de la cellule L16.
Lorsqu'on va recopier cette formule dans les cellules en-dessous, il faut que la référence à la cellule L16 reste fixe dans la formule, il faut donc bloquer le numéro de ligne 16.
Ainsi, il faut donc saisir dans la cellule M4 la formule : =L4/L$16

1. c) La cellule B16 contient la somme des cellules B4 à B15.
Donc, la formule à saisir dans la cellule B16 est : =SOMME(B4:B15)

2. a) En 1997, il y avait 283984 mariages et 297922 en 2000. Le taux d'évolution t entre 1997 et 2000 est donné par :
$t = \displaystyle \frac{297922-283984}{283984} \approx 0,0491 \approx 4,9\%$
C'est donc une augmentation de 4,9%.

2. b) En 2000, il y avait 297922 mariages et 267300 en 2006. Le taux d'évolution t entre 1997 et 2000 est donné par :
$t = \displaystyle \frac{267300-297922}{297922} \approx -0,1028 \approx -10,3\%$
C'est donc une baisse de 10,3%.

3. a) La cellule G25 contient la moyenne des nombres de mariages pour les mois de janvier, c'est-à-dire le nombre total de mariages pour les mois de janvier divisé par le nombre d'années entre 1997 et 2006 :
$m = \displaystyle \frac{67664}{10} = 6766,4 \approx \boxed{6766}$

3. b) La valeur dans la cellule G25 est égal au contenu de la cellule L4 divisé par 10, donc : =L4/10

3. c) L'écart-type pour le mois de juillet est plus élevé que pour le mois de juin. L'écart-type est un indicateur de dispersion : plus l'écart-type est faible, plus les valeurs sont homogènes.
Cela signifie que le nombre de mariages pour les mois de juin est plus régulier que pour les mois de juillet.

exercice 2

PARTIE 1

1. Entre les points A et B, on s'élève de 1300 - 1200 = 100 mètres pour une distance de 500 m, soit une pente de $\dfrac{100}{500} = 0,2$ .
Entre les points B et C, on s'élève de 1400 - 1300 = 100 mètres pour une distance de 1500 m, soit une pente de $\dfrac{100}{1500} \approx 0,067$ .
Donc la pente entre A et B est plus importante qu'entre B et C.

2. Coordonnées des points D, A, B, C et S :
D(0 ; 1000) A(2,5 ; 1200) B(3 ; 1300) C(4,5 ; 1400) S(5,5 ; 1600)
En supposant que la pente reste constante entre deux points, on peut relier les points par des segments.

épreuve anticipée du bac littéraire 2008 - terminale : image 4

Partie 2

1. $u_2$ est égal à la température lorsque le randonneur sera à 1002 mètres. La température baissant de 0,01°C par mètre, on a :
$u_2 = 25 - 2\times 0,01 = 25 - 0,02 = \boxed{24,98}$
$u_{10}$ est égal à la température lorsque le randonneur sera à 1010 mètres. La température baissant de 0,01°C par mètre, on a :
$u_{10} = 25 - 10\times 0,01 = 25 - 0,1 = \boxed{24,9}$

2. La température à l'altitude $1000+(n+1)$ est égale à la température à l'altitude $1000+n$ à laquelle on retire 0,01°C :
$\boxed{u_{n+1} = u_n - 0,01}$

3. L'expression trouvée à la question précédente correspond à celle d'une suite arithmétique de raison $r=-0,01$ .
On a : $u_n = u_0 + n r$ donc $\boxed{u_n = 25 - 0,01n}$

4. La température à l'attitude de 1560 m correspond au terme $u_{560}$ :
$u_{560} = 25 - 560 \times 0,01 = 25 - 5,6 = 19,4$
Donc, à 1560 m, la température est de 19,4°C.

5. On cherche l'altitude telle que :
$u_n \le 20 \\ \Longleftrightarrow \, 25 - 0,01n \le 20 \\ \Longleftrightarrow \, -0,01n \le 20 -25 \\ \Longleftrightarrow \, -0,01n \le -5 \\ \Longleftrightarrow \, n \ge \displaystyle \frac{-5}{-0,01} \\ \Longleftrightarrow \, n \ge 500$
Donc la température est inférieure ou égale à 20°C à partir de 1500 m.

Publié par Cel/jamo le 17-06-2008

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