L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Pondichéry - Session 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (4 points) - Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur [1 , +[ par et soit H la fonction définie sur [1 , +[ par .
    a) Justifier que f et H sont bien définies sur [1 , +[.
    b) Quelle relation existe-t-il entre H et f ?
    c) Soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormal du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre H(3).

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).
    a) Montrer que pour tout réel , .
    b) En déduire que
    c) Montrer que si , alors .
    d) En déduire un encadrement de puis de .

 Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :
    a) Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes trois points A, B et C.
Alors
    b) Soit z un nombre complexe et soit un réel :
si et seulement si où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : Démontrer que la rotation r d'angle et de centre d'affixe est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que .

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe d'unité graphique 2 cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives , , et .

1. a) Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombre complexes z_A, z_B, z_C et z_D.
    b) Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère ?
    c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d'angle . Soient E et F les points du plan définis par : E = r(A) et F = r(C).
    a) Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent ?
    b) Donner l'écriture complexe de r.
    c) Déterminer l'affixe du point E.

 Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z' = az + b, où .
Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

Partie B

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives .
1. a) Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes z_A, z_B, z_C et z_D.
    b) Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).
    c) Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l'écriture complexe est .
    a) Déterminer les éléments caractéristiques de g.
    b) Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par g des points A, C et O.
    c) Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.

 Exercice 3 (4 points) - Commun à tous les candidats

On considère un tétraèdre ABCD.
On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D. 1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.

Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

2. a) Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.
   b) En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.

3. a) Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).
   b) Quelle est la valeur du produit scalaire ? En déduire que (IJ) est orthognale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).
   c) Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].
   d) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

 Exercice 4 (7 points) - Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.
les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : un modèle discret

Soit u_n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année n.
On pose n = 0 en 2005, u₀ = 1 et, pour tout .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par .
   a) Etudier les variations de f sur [0 ; 20].
   b) En déduire que pour tout .
   c) On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite .

2. Montrer par récurrence que pour tout .

3. Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année . On pose en 2005, g(0) = 1 et g est une solution, qui ne s'annule pas sur [0 , +[, de l'équation différentielle (E) :

1. On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur [0 , +[ et on pose .
   a) Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle :

(E₁) : .
   b) Résoudre l'équation (E₁) et en déduire les solutions de l'équation (E).

2. Montrer que g est définie sur [0 , +[ par .

3. Etudier les variations de g sur [0 , +[.

4. Calculer la limite de g en + et interpréter le résultat.

5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ?

cours particuliers