5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé , on considère les points A, B, C d'affixes respectives .

1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2. Soit I le milieu de [BC] et son affixe.
    a) Quel est l'ensemble des points du plan distincts de A dont l'affixe est telle que soit un réel ?
    b) Déterminer l'unique réel tel que soit un réel.
    c) Soit l'affixe du vecteur , donner une forme trigonométrique de .

3. a) Soit G le point d'affixe -3. Montrer qu'il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels.
    b) Soit la rotation de centre G et d'angle de mesure .
Déterminer l'écriture complexe de .

4. Soit A', B' et C' les images respectives de A, B, et C par la rotation ; soient et leurs affixes.
Quelle est l'image par de l'axe de symétrie du triangle ABC ?
En déduire que .


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.
On appelle I le milieu de [AD].

L'espace est muni du repère orthonormé .

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a) Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à .
    b) Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.
En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance du point G au plan (FIH).

3. Soit le vecteur de coordonnées .
    a) Montrer que le vecteur est normal au plan (FIH).
    b) En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).
    c) Retrouver par une autre méthode la distance du point G au plan (FIH).

4. a) La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?
    b) Donner un système d'équations paramétriques de cette droite.
    c) Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.
Soit la sphère de centre G passant par K.
Quelle est la nature de l'intersection de et du plan (FIH) ?
(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormé .
Soit la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soit la droite dont une représentation paramétrique est :

Le but de l'exercice est d'étudier l'ensemble des points de l'espace équidistants de et de

1. Une équation de
    a) Montrer que et sont orthogonales et non coplanaires.
    b) Donner une représentation paramétrique de la droite .
Soit un point de l'espace de coordonnées et le projeté orthogonal de sur . Montrer que a pour coordonnées .
En déduire en fonction de et .
Soit le projeté orthogonal de sur . Un calcul analogue au précédent permet d'établir que : , relation que l'on ne demande pas de vérifier.
    c) Montrer qu'un point de coordonnées appartient à si et seulement si .

2. Étude de la surface d'équation
    a) On coupe par le plan (O). Déterminer la section obtenue.
    b) On coupe par un plan parallèle au plan (O).
Quelle est la nature de la section obtenue ?
    c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.
On coupe par le plan d'équation . Quelle est la nature de la section obtenue ?


3 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.

On rappelle que la fonction est définie et dérivable sur , positive sur , et vérifie :

1. On considère la fonction définie sur par      
    a) Étudier les variations de et en déduire que admet un minimum sur .
    b) En déduire le signe de puis que, pour tout .
    c) En déduire que .

2. Soit un entier naturel non nul.
On considère la fonction définie sur par :      
En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en de la fonction .


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Résoudre l'équation différentielle :     dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur .

2. On considère l'équation différentielle :    
    a) Déterminer deux réels et tels que la fonction définie sur par :     soit solution de .
    b) Soit une fonction définie et dérivable sur .
Montrer que est solution de l'équation (E) si et seulement si est solution de l'équation (E).
Résoudre l'équation ().

3. Étudier les variations de la fonction définie sur par :

4. Déterminer les limites en et en de la fonction .

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on note la courbe représentative de et celle de la fonction : .
    a) Étudier les positions relatives de et .
    b) Tracer ces deux courbes sur un même graphique.