L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
Session 2008

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédacion dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,5 point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

I. On considère l'arbre de probabilité suivant, dans lequel et sont les événements contraires respectivement des événements A et E.

1. La probabilité de l'événement A E est :

a) 0,85

b) 0,105

c) 0,1425

2. La probabilité de l'événement E est :

a) 0,2125

b) 0,95

c) 0,3175

II. On place 300 euros à intérêts composés au taux annuel de 4%. A l'aide du tableau ci-dessous, répondre aux questions suivantes.

	A	B	C
1	Année n	Taux	Capital
2	0	4	300
3	1		312
4	2		324,48
5	3		337,4592
6	4		350,957568
7	5		364,995871
8	6		379,595706
9	7		394,779534
10	8		410,570715

1. Dans la cellule C3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :

a) =C2*(1+$B$2/100)

b) =C$2*(1+B2/100)

c) =$C$2*(1+$B$2/100)

2. Les intérêts, arrondis au centime d'euro, acquis au bout de 7 ans s'élèvent à :

a) 94,78

b) 379,60

c) 394,78

III. L'inéquation a pour ensemble de solutions dans :

a) S = ]- ; 4 + ln(3)]

b) S = ]- ; 7]

c) S = ]- ; 3 + ln(4)]

 Exercice 2 (5 points)

Hélène est salariée de la même entreprise depuis maintenant quinze ans. Elle regarde l'évolution de son salaire qui dépend à la fois de la variation des cotisations, des changements d'échelons et des augmentations personnelles. Elle observe les résultats suivants sur les huit dernières années.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année xi	1	2	3	4	5	6	7	8
Salaire mensuel yi (en €)	1650	1725	1740	1750	1825	1850	1950	1960

1. Tracer le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère d'unités graphiques :
1 cm pour une année sur l'axe des abscisses,
2 cm pour 100 € sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 1 600 €).

2. a) Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le repère précédent.
   b) Avec la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x de ce nuage de points par la méthode des moindes carrés : les coefficients de l'équation seront arrondis à l'unité.
   c) Tracer la droite dans le repère de la question 1..

3. On considère que cette droite permet un ajustement de la série statistique valable jusqu'en 2015.
   a) Estimer, à l'aide du graphique, le salaire moyen mensuel d'Hélène en 2010 en laissant apparents sur le graphique les traits de rappel (arrondir à la dizaine d'euros).
   b) Son salaire atteindra-t-il 2 400 € avant 2015 ? Justifier la réponse.

 Exercice 3 (5 points)

Partie A

Sur la figure 1 ci-dessous, on a tracé les droites :
      d₁ d'équation y = 5 ;
      d₂ d'équation ;
      d₃ d'équation ;
      d₄ d'équation .
Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système suivant :

Partie B

Les propriétaires d'un magasin situé en bord de mer souhaitent acheter des planches à voile pour les proposer à la location.
Ils doivent acheter deux types de planche à voile :
    des planches, au coût unitaire de 900 €, destinées aux débutants.
    des planches, au coût unitaire de 2 100 €, destinées aux utilisateurs confirmés.
Les contraintes sont les suivantes :
    Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5 planches pour utilisateurs confirmés.
    Pour des raisons de difficulté de stockage, ils ne peuvent acheter au maximum que 17 planches.
    Le budget maximum pour l'achat de l'ensemble des planches est de 25 000 €.
On note le nombre de planches pour débutants et y Ie nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées par les propriétaires.

1. Justifier que les contraintes d'achat sont caracterisées par Ie système de la partie A avec et y entiers.

2. Le magasin peut-il acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés ? Justifier la réponse.

3. Les planches pour débutants seront louées 15 € l'heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20 € l'heure.
On suppose que toutes les planches seront louées.
   a) Exprimer, en fonction de et y, le chiffre d'affaire horaire R du magasin.
   b) Les propriétaires souhaitent déterminer le couple qui fournira le chiffre d'affaire horaire maximum. A l'aide d'un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée ci-dessous.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	x\y	5	6	7	8	9	10	11
2	4	160	180	200	220	240	260	280
3	5	175	195	215	235	255	275	295
4	6	190	210	230	250	270	290	310
5	7	205	225	245	265	285	305	325
6	8	220	240	260	280	300	320	340
7	9	235	255	275	295	315	335	355
8	10	250	270	290	310	330	350	370
9	11	265	285	305	325	345	365	385
10	12	280	300	320	340	360	380	400

Parmi les formules suivantes, indiquer celle qui est à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie :
    Formule 1 : =15*$A$2+20*$B$1
    Formule 2 : =15*A$2+20*$Bl
    Formule 3 : =15*$A2+20*B$1
   c) Donner, parmi les couples qui vérifient les contraintes, celui qui correspond au chiffre d'affaire maximum. Quel est ce chiffre d'affaire maximum ?

 Exercice 4 (5 points)

Partie A

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 15] par .

1. On désigne par la fonction derivée de sur l'intervalle [0 ; 15].
   a) Calculer et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 15].
   b) Etablir le tableau de variation de sur l'intervalle [0 ; 15].

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième) :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
			3,2		4,2	4,6	4,9	5,2			5,8		6,1	6,3

3. Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).

4. Soit (D) la droite d'équation . Tracer la droite (D) dans le repère précédent.

Partie B

Une entreprise fabrique des pièces pour avions. On note le nombre de pièces fabriquées par mois
Chaque mois, les coûts de production, exprimés en milliers d'euros, sont donnés par :
Le prix de vente d'une piece est 0,8 milliers d'euros.

1. Si l'entreprise vend pièces, déterminer la recette exprimée en milliers d'euros.

2. Vérifier que le bénéfice mensuel est :

3. Calculer une valeur approchée de B(3) et B(14), puis préciser pour chacun de ces cas si l'entreprise est bénéficiaire.

4. En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu'il faut fabriquer et vendre pour que l'entreprise soit bénéficiaire.

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