Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Métropole - Session Septembre 2008
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entres candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fontions de transmission des calculatrices sont interdits. (circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée en même temps que le sujet.
5 points
exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .
2. On considère les points A, B et C du plan d'affixes respectives : .
Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère .
3. Déterminer le module et un argument des nombres complexes et .
4. a) Écrire et sous la forme , où est un réel strictement positif et un réel compris entre et .
b) Montrer que le point B est l'image du point A par une rotation de centre O et d'angle que l'on précisera.
5. Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle.
6. Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
5 points
exercice 2
Une entreprise fabriquant des ordinateurs les vend en ligne sur internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement.
Le fabricant propose en option une extension de garantie payante de deux ans, au delà de cette première année gratuite.
1. Une étude est faite sur un échantillon de 1 000 ordinateurs vendus par ce fabricant. Elle montre que :
10 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations au cours de la deuxième année (on note ce cas R) ;
au cours de la troisième année, 20 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparation (on note ce cas R) dont un qui avait déjà été réparé l'année précédente.
Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre d'ordinateurs
R se produit
R ne se produit pas
Total
R se produit
R ne se produit pas
Total
On admet que la répartition précédente modélise ce qui se produit pour l'ensemble des ordinateurs vendus par ce fabricant.
2. Selon les chiffres du fabricant :
pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la deuxième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette deuxième année est 150 €.
pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la troisième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette troisième année est 200 €.
On note la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par ce fabricant, associe le coût total moyen des réparations, pour l'acheteur, au terme des trois premières années. Ce coût est exprimé en euros.
Les valeurs prises par la variable aléatoire sont donc 0, 150, 200, 350.
a) Justifier que la probabilité de l'évènement ( = 0) est égale à 0,971.
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
c) Calculer l'espérance mathématique E() de la variable aléatoire .
3. Le fabricant propose l'extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50 €.
Que peut-on en dire ?
10 points
probleme
Partie A: Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle , où représente une fonction de la variable , définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
1. Résoudre l'équation différentielle .
2. Déterminer deux nombres réels et tels que la fonction , définie sur par , soit solution de l'équation différentielle .
3. Soit la fonction définie sur par où est un nombre réel.
a) Vérifier que est solution de l'équation .
b) Déterminer le réel tel .
Partie B : Étude de la fonction
Soit la fonction définie sur par : .
1. a) Déterminer la limite de lorsque tend vers .
b) Déterminer la limite de lorsque tend vers .
2. a) On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Calculer pour tout réel .
b) En déduire le sens de variation de la fonction sur et dresser son tableau de variations.
3. a) Calculer et .
b) Établir que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle [0 ; 1].
c) Donner un encadrement d'amplitude 10-2 du nombre réel .
d) Déterminer selon les valeurs du réel , le signe de .
Partie C : Courbe représentative de la fonction
Le plan est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 8 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
On note la courbe représentative de la fonction dans le repère .
1. Soit la fonction définie sur par : .
La représentation graphique de la fonction , dans le repère est tracée sur la feuille jointe en annexe.
a) On pose, pour tout réel .
Étudier le signe de .
b) En déduire la position de la courbe par rapport à la courbe .
2. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième de .
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
3. Tracer la courbe dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie.
Partie D : Calcul d'une aire
On appelle la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
1. Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan.
2. Calculer la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan.
Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.
ANNEXE DU PROBLÈME
À REMETTRE AVEC LA COPIE
Publié par TP/
le
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