Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Nouvelle - Calédonie - Session Novembre 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.

5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . L'unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : $P(z) = 4z^4 - 7z^3 + 11z^2 + 10z -12$ .

1. Résolution de l'équation $P(z) = 0$ .
a) Déterminer les deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout nombre complexe $z$ : $P(z) = \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right)$ .
b) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$ .

2. On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives :

$a = -1$ ,

$b = 1+\text{i}\sqrt{3}$ ,

$c = 1-\text{i}\sqrt{3}$ ,

$d = \dfrac{3}{4}$ .

    a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $b$ et $c$ .
    b) Placer les points A, B, C et D dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
    c) Démontrer que les points A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D dont on précisera le rayon $r$ . Construire ce cercle.
    d) Déterminer les affixes $e$ et $f$ des deux points E et F situés sur $\mathcal{C}$ et tels que les triangles ABE et ABF soient rectangles, respectivement en B et en A. Placer les points E et F sur le cercle $\mathcal{C}$ .

4 points

exercice 2

À l'instant $t = 0$ , une bille est lâchée à la surface d'une colonne de liquide.
On note $v(t)$ la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en m.s^-1, à un instant $t$ donné.
On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [ et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(\text{E})~~:\quad y' + 140y = 5,88$ .
1. Résoudre l'équation différentielle (H) : $\quad z' + 140z = 0$ , où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable $t$ , dérivable sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

2. On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; $+\infty$ [, $y(t) = z(t) + 0,042$ , où la fonction $z$ est une solution de l'équation différentielle (H).
    a) Démontrer que la fonction $y$ est une solution de l'équation différentielle (E).
    b) Parmi les fonctions $y$ précédentes, démontrer que celle, notée $v,$ qui s'annule pour $t = 0$ , est définie par : $v(t) = 0,042\left(1 - \text{e}^{- 140t}\right)$ .

3. Deux utilisations de l'expression trouvée de $v(t)$ .
    a) Démontrer, en étudiant la limite de $v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ , que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée $\ell$ dont on donnera la valeur numérique.
    b) À quel instant $t$ la bille atteint-elle 95 % de sa vitesse limite ?

11 points

probleme

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ . (L'unité graphique est 4 cm.)
Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [ par : $f(x) = \dfrac{\text{e}^x +1}{\text{e}^x + x}$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$ .

I - Étude d'une fonction auxiliaire

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [ par : $g(x) = \text{e}^x(x - 2) - 1$ .
1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ .

2. Étude des variations de $g$
    a) Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

3. Résolution de l'équation $g(x) = 0$
    a) Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$ , appartenant à l'intervalle [1 ; 3].
    b) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-1.

4. Déterminer le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

II - Étude de la fonction $f$

1. Étude de la limite en $+ \infty$ .
    a) Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; $+\infty$ [, $\displaystyle f(x) = \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}$ .     b) En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.

2. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

3. Étude des variations de $f$
    a) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; $+\infty$ [, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$ où $g$ est la fonction définie en 1.
    b) Déduire de la question I. 4., le sens de variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

4. Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

III - Calcul d'aire

On note $\mathcal{B}$ l'aire, exprimée en cm² du domaine limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $\mathcal{D}$ , l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ .

1. Hachurer sur le graphique le domaine $\mathcal{B}$ .

2. Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

3. En déduire la valeur exacte de $\mathcal{B}$ , puis une valeur approchée arrondie au mm².

Voir la correction

EXERCICE 1

$P\left(z \right)=4z^4-7z^3+11z^2+10z-12$

1-a.

$\text{Pour tout }z\text{ de }\textbf{ C }\;,\left(z^2-2z+4 \right)\left(4z^2+\alpha z+\beta \right)=4z^4-7z^3+11z^2+10z-12 \\\\\Leftrightarrow 4z^4+z^3\left(\alpha-8 \right)+z^2\left(-2\alpha+\beta+16\right)+z\left(4\alpha-2\beta \right) +4\beta=4z^4-7z^3+11z^2+10z-12$

En identifiant :

$\left\lbrace\begin{array}l \alpha-8=-7 \\ -2\alpha+\beta+16=11 \\ 4\alpha-2\beta=10 \\ 4\beta=-12 \end{array}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l \alpha=1 \\ \beta=-3 \end{array}$

Remarque : les valeurs trouvées pour $\alpha\text{ et }\beta$ sont réelles donc conviennent.

$\boxed{\textcolor{blue}{\alpha=1 \text{ et } \beta=-3}}}$

b. $P(z)=0\Longleftrightarrow \left(z^2-2z+4 \right)\left(4z^2+z-3 \right)=0$

Résolvons : $\text{. }z^2-2z+4=0$

$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times 4=4-16=-12=\left(2i\sqrt{3} \right)^{2} \\\\ z=\dfrac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}$

Résolvons : $\text{. }4z^2+z-3=0$

$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 4\times (-3)=49=7^{2} \\\\ z=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 7}{8}\text{ soit } z=-1 \text{ ou } z=\dfrac{3}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace -1 \text{ , } \dfrac{3}{4} \text{ , } 1-i\sqrt{3} \text{ , } 1+i\sqrt{3} \rbrace}}}$

2. A, B et C d'affixes respectives :

$a=-1 \text{, }b=1+i\sqrt{3}} \text{ et }c=1-i\sqrt{3}\text{ et }d=\dfrac{3}{4}$

a. Module et un argument de chacun des nombres $b$ et $c$

On remarque que $c=\bar{b}$

$\text{. }b=1+i\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3} \right)=2\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}$

$\text{On en déduit : }c=2\text{e}^{-i\frac{\pi}{3}}$ (même module et argument opposé)

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le nombre } c \text{ a pour module }2 \text{ et un argument }\dfrac{\pi}{3} \text{ et le nombre } d \text{ a pour module }2 \text{ et un argument }-\dfrac{\pi}{3}. }}$

b. Voir figure ci-dessous

Les point B et C appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon 2, tous deux ont pour abscisse 1.

c. Calculons les distances $DA\;,DB \text{ et } DC.$

$\text{. }DA=\mid z_A-z_D\mid=\mid a-d\mid=\mid=\mid -1-\dfrac{3}{4}\mid=\mid -\dfrac{7}{4}\mid=\dfrac{7}{4}$

$\text{. }DB=\mid z_B-z_D\mid=\mid b-d\mid=\mid 1+i\sqrt{3}-\dfrac{3}{4}\mid=\mid \dfrac{1}{4}+i\sqrt{3}\mid=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4} \right)^{2}+\left( \sqrt{3}\right)^{2} \right)}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+3}=\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{7}{4}$

$\text{. }DC=\mid z_C-z_D\mid=\mid c-d\mid=\mid 1-i\sqrt{3}-\dfrac{3}{4}\mid=\mid \dfrac{1}{4}-i\sqrt{3}\mid=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4} \right)^{2}+\left( -\sqrt{3}\right)^{2} \right)}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+3}=\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{7}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{A\text{, }B\text{ et }C\text{ sont sur le cercle }\mathcal{C}\text{ de centre }D\text{ et de rayon }r=\dfrac{7}{4}.}}$

d. Pour que ABE soit rectangle en B, il suffit que E soit le point diamétralement opposé au point A sur le cercle.

$AD=\dfrac{7}{4}$ donc l'affixe de E est $e=\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{5}{2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'affixe du point }E\text{ est donc }e=\dfrac{5}{2}}}}$

Pour que BAF soit rectangle en A, il suffit que F soit le point diamétralement opposé au point B sur le cercle.

$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{BD}\text{ soit }f-z_D=z_D-z_B$

ce qui donne : $f=2z_D-z_B=\dfrac{3}{2}-1-i\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}-i\sqrt{3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'affixe du point }F\text{ est donc }f=\dfrac{1}{2}-i\sqrt{3} }}}$

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - terminale : image 1

EXERCICE 2

$\left(E \right)\text{ : }y'+140y=5,88$

1. $\left(H \right)\text{ : }z'+140z=0$

La solution de cette équation différentielle du premier ordre est donc la fonction $z$ définie sur R+ par :

$\boxed{\textcolor{blue}{z(t)=k\text{e}^{-140t}\text{ avec } k\in\mathbb{R}}}}$

2-a. $y(t)=z(t)+0,042$

Regardons si $y(t)$ vérifie l'équation $\left(H \right)$ .

Nous avons :

$y(t)=z(t)+0,042=k\text{e}^{-140t}+0,042\text{ et }y(t)'=-140k\text{e}^{-140t}$

Donc :

$y(t)'+140y(t)=-140k\text{e}^{-140t}+140\left( k\text{e}^{-140t}+0,042\right)=\cancel{-140k\text{e}^{-140t}}+\cancel{140k\text{e}^{-140t}}+140\times 0,042=5,88$

$\boxed{\textcolor{blue}{y(t)=z(t)+0,042\text{ et } y \text{ est donc solution de l'équation différentielle}\left(E \right).}}}$

b. La fonction $v$ est solution de l'équation différentielle $\left(E \right)$ , son expression est donc de la forme :

$v(t)=z(t)+0,042=k\text{e}^{-140t}+0,042$

Cette fonction $v$ recherchée s'annule pour $t=0$ , soit :

$v(0)=0\Leftrightarrow k\text{e}^{-140\times 0}+0,042=0\Leftrightarrow k+0,042=0\Leftrightarrow k=-0,042$

$\boxed{\textcolor{blue}{v(t)=-0,042\text{e}^{-140t}+0,042=0,042(1-\text{e}^{-140t})}}}}$

3-a. $\underset{t\to +\infty}{\lim}\text{e}^{-140t}=0$

donc $\underset{t\to +\infty}{\lim}0,042(1-\text{e}^{-140t}) =0,042$

$\boxed{\textcolor{blue}{l=0,042 }}}$

b. On cherche donc à résoudre l'équation suivante :

$v(t)=95\%\times l \\\\ 0,042(1-\text{e}^{-140t})=95\%\times 0,042\\\\ 1-\text{e}^{-140t}=\dfrac{95}{100} \\\\ \text{e}^{-140t}=0,05\\\\ -140t=\ln 0,05\\\\ t=-\dfrac{\ln0,05}{140}\approx 0,0214$

$\boxed{\textcolor{blue}{95\%\text{ de la valeur limite est atteinte en }0,0214\quad s.}}}$

PROBLEME

I - Étude d'une fonction auxiliaire

$g(x)=\text{e}^x\left(x- 2\right)-1$

1. $\underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim} \underbrace{\text{e}^x}_{\to +\infty}\underbrace{\left(x- 2\right)}_{\to +\infty}-1 =+\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=+\infty}}}$

2-a. La fonction $g$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur $[0,+\infty[$ .

$g'(x)=\left( x-2 \right)+\text{e}^x}\left(x- 2\right)=\text{e}^x\left(x-2+1 \right)=\left(x-1 \right)\text{e}^x$

$\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=g'(x)=\left(x-1 \right)\text{e}^x}}}$

Pour tout $x\in[0,+\infty[,\quad \text{e}^x>0$ , donc $g'(x)$ est du même signe que $(x-1)$ , donc :

$.\quad g'(x)< 0\Leftrightarrow x\in[0,1[ \\\\.\quad g'(x)>0\Leftrightarrow x\in]1,+\infty[$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La fonction }g\text{ est donc décroissante sur }[0,1[\text{ et croissante sur }]1,+\infty[.}}}$

b.

$g(1)=\text{e}^1\left(1- 2\right)-1=-\text{e}-1\approx -3,72$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x & 0 && 1 && +\infty & \\ \hline g'(x) & & - & 0 & + & & \\ \hline \niveau{2}{3} g & -3 & \decroit & -\text{e}-1 &\croit & +\infty & \\ \hline \end{tabvar}$

3-a. On a vu ci-dessus que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]1,+\infty[$ , donc strictement croissante sur $[1,3]$ , et on a :

$.\quad g(1)\approx -3,72<0 \\\\.\quad g(3)=\text{e}^3\left(3- 2\right)-1=\text{e}^3-1\approx 19,09>0$

La fonction $g$ croît strictement d'une valeur strictement négative g(1) à une valeur strictement positive g(3).

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe donc une valeur unique }\alpha\in[1,3]\text{ telle que }g(\alpha)=0.}}}$

b. A la calculatrice, on trouve :

$\boxed{\textcolor{blue}{2,1<\alpha<2,2}}}$

4.

Sur $[0,1]$ , la fonction $g$ ne prend que des valeurs strictement négatives (cf tableau de variations)

Sur $[1,\alpha[$ , la fonction $g$ est croissante ; pour $1<x<\alpha$ , $g(x) [tex]g(x)<0$ .

Sur $]\alpha,+\infty[$ , la fonction $g$ est positive.

$\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,\alpha],\quad g(x)\leq 0\text{, et }\forall x\in[\alpha,+\infty[,\quad g(x)\geq 0.}}}$

II - Étude de la fonction $f$

1-a. $f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}=\dfrac{\text{e}^{x}\left(1+\dfrac{1}{\text{e}^{x}} \right)}{\text{e}^{x}\left(1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}} \right)}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+x\text{e}^{-x}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,+\infty[,\quad f(x)=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+x\text{e}^{-x}}}}}$

b. $\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left(\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x} \right)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left( \dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+x\text{e}^{-x}}\right)=1$

car :

$\underset{x\to +\infty}{\lim}x\text{e}^{-x}}=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}}} \right)=0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe de la fonction }f\text{ admet comme asymptote la droite d'équation }y=1\quad .}}}}$

2. Étudions le signe de l'expression $f(x)-1$

$f(x)-1=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}-1=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}-\dfrac{\text{e}^{x}+x}{\text{e}^{x}+x}=\dfrac{1-x}{\text{e}^{x}+x}$

$x$ étant positif, $\text{e}^{x}+x> 0$ et $f(x)-1$ a le même signe que $1-x$

$\text{. }x<1\Leftrightarrow 0<1-x\Leftrightarrow 0<f(x)-1\Leftrightarrow 1<f(x)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }0\le x<1\text{, la courbe de la fonction }f\text{ est au-dessus de la droite d'équation }y=1\quad .}}}}$

$\text{. }x>1\Leftrightarrow 0>1-x\Leftrightarrow 0>f(x)-1\Leftrightarrow f(x)<1$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }x>1\text{, la courbe de la fonction }f\text{ est en dessous de la droite d'équation }y=1\quad .}}}}$

Notons que le point de coordonnées $(1,1)$ est un point d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite $\mathcal{D}$ .

3-a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ comme quotients de fonctions dérivables sur $[0,+\infty[$ (dont le dénominateur ne s'annule pas sur l'ensemble de définition).

$f'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x}+x \right)-\left( \text{e}^{x}+1\right)\left( \text{e}^{x}+1\right)}{\left(\text{e}^{x}+x} \right)^2} =\frac{\cancel{\text{e}^{2x}}+x\text{e}^{x}-\cancel{\text{e}^{2x}}-2\text{e}^{x}-1}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2} =\frac{\text{e}^{x}\left(x-2 \right)-1}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2}=\frac{g(x)}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in [0,+\infty[,\quad f'(x)=\frac{g(x)}{\left(\text{e}^{x}+x \right)^2}}}}}$

b. Pour tout $x\in [0,+\infty[$ , on a $\left(\text{e}^{x}+x \right)^2>0$ , donc $f'(x)$ et $g(x)$ sont de même signe, donc :

$\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,\alpha],\quad f'(x)\leq 0\text{ et }f\text{ décroissante et : }\forall x\in[\alpha,+\infty[,\quad f'(x)\geq 0\text{ et }f\text{ croissante. }}}}$

4. Voir figure ci-dessous

III - Calcul d'aire

1. Représentation graphique

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Nouvelle Calédonie Novembre 2008 - terminale : image 9

2. On a l'expression de la fonction $f$ de la forme :

$f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}=\dfrac{U'(x)}{U(x)}$

Donc une primitive $F$ de $f$ peut s'écrire : $F(x)=\ln \mid U(x)\mid$

Or :

$\forall x\in[0,+\infty[,\quad U(x)=\text{e}^x+x>0\Rightarrow \mid U(x)\mid =U(x)$

Donc :

$F(x)=\ln \mid U(x)\mid=\ln U(x)=\ln\left(\text{e}^x+x \right)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une primitive de }f\text{ sur }[0,+\infty[\text{ est }F(x)=\ln\left(\text{e}^x+x \right)\quad .}}}}}$

2. La fonction f ne prend que des valeurs positives pour $x\text{ dans }[0\;;1]$ . L'aire du domaine $\mathcal{B}$ est donc égale à :

$A(\mathcal{B})=\displaystyle {\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{0}^{1} =F\left( 1\right)-F\left(0 \right)=\ln\left(\text{e}^1}+1 \right)-\underbrace{\ln\left(\text{e}^0+0\right)}_{=\ln1=0} =\ln\left(1+\text{e} \right)\text{ u.a}$

$\boxed{\textcolor{blue}{A(\mathcal{B})=\ln\left(1+\text{e} \right)\text{ unité d'aire}}}}}}$

L'unité graphique étant de 4 cm, l'aire recherchée est donc de :

$A(\mathcal{B})=[\ln\left(1+\text{e} \right)]\times 16\approx 21,01\text{ cm}^2$

$\boxed{\textcolor{blue}{A(\mathcal{B})\approx21,01\text{ cm}^2}}}}}$

Publié par Jedoniezh le 25-06-2016

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