4 points

exercice 1

Questionnaire à choix multiples
Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Notation : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

On définit la fonction sur l'ensemble des nombres réels par : . Le plan est rapporté au repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative de la fonction dans le repère .
On note A et B les points de coordonnées respectives (-3 ; 0) et (0 ; 2).
On note le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :
    la courbe ,
    l'axe des abscisses,
    l'axe des ordonnées,
    la droite d'équation : .
Question 1 :
La fonction est une solution de l'équation différentielle (E) :
Réponse a. : (E) :
Réponse b. : (E) :
Réponse c. : (E) : .
( désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble des nombres réels de variable désigne la fonction dérivée de la fonction .)

Question 2 :
La courbe a pour asymptote la droite d'équation :
Réponse a. : ;
Réponse b. : ;
Réponse c. : .

Question 3 :
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation :
Réponse a. : ;
Réponse b. : ;
Réponse c. : .

Question 4 :
On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine autour de l'axe des abscisses.
La valeur V du volume du solide S est donnée par : (en unités de volume). La valeur V du volume du solide S, en cm² est égale à :
Réponse a. : ;
Réponse b. : ;
Réponse c. : .


5 points

exercice 2

i désigne le nombre complexe de module et d'argument .
On considère les nombres complexes suivants , et
1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe .

2. a) Écrire le nombre complexe sous forme algébrique et montrer que : .
    b) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe .

3. Écrire le nombre complexe sous forme algébrique.

4. On note le nombre complexe défini par : .
    a) Calculer le module et un argument du nombre complexe .
    b) Écrire le nombre complexe sous forme algébrique.
    c) En déduire les valeurs exactes des nombres réels et .


11 points

probleme

La fonction est définie sur l'intervalle par où et sont trois nombres réels à déterminer. On note la fonction dérivée de la fonction .
On a représenté la fonction sur la feuille annexe dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. On note la courbe représentative de cette fonction .
On note T la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. La tangente T passe par l'origine O du repère.
La tangente à la courbe au point d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses.

Partie A : Recherche de l'expression de

1. Préciser (sans justifier) les valeurs de , et .

2. Déterminer , en fonction de la variable et des nombres réels , et .

3. Exprimer , et en fonction des nombres réels , et .

4. En utilisant les réponses aux questions 1. et 3., montrer que les nombres réels , et sont solutions du système suivant :
5. Résoudre le système . En déduire une expression de .

Partie B : Étude de la fonction

Dans la suite du problème la fonction est définie sur l'intervalle par : .
1. Déterminer par calculs la limite de en (on peut factoriser par ).

2. On rappelle que : .
En écrivant sous la forme d'une seule fraction, déterminer la limite de en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Déterminer et vérifier que pour tout nombre réel de l'intervalle : . Dresser le tableau de variations complet de la fonction (justifier avec soin le signe de ).
Montrer que, sur l'intervalle [4  ; 5] l'équation a une unique solution. notée .
Justifier l'encadrement de la solution d'amplitude 10^-1 suivant :

Feuille annexe