Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles - Guyane - Session Septembre 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées.

1. La solution de l'équation : $2\ln x = 3$ est :

a. $2\text{e}^{\frac{3}{2}}$

b. $\text{e}^{\frac{3}{2}}$

c. $\ln \dfrac{3}{2}$

d. $2\ln 3$

2. On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est :

a. $\dfrac{5}{36}$

b. $\dfrac{1}{9}$

c. $\dfrac{1}{6}$

d. $\dfrac{1}{11}$

3. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x^3 - 6x + 1$ . L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est :

a. $y = 6x - 7$

b. $y = 6x + 5$

c. $y = 18x - 31$

d. $y = 18x + 31$

4. L'ensemble des solutions de l'inéquation : $\text{e}^x \ge 2$ est :

a. $]0~;~+ \infty[$

b. $]0~;~\ln 2[$

c. $[\ln 2~;~+ \infty[$

d. $]- \infty~;~\text{e}^2[$

5. Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l'escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités est :

a. $\dfrac{11}{24}$

b. $0,6$

c. $0,875$

d. $\dfrac{2}{3}$

6. Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan, on considère les points F(3 ; 0) et F'(- 3 ; 0). On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points M du plan tels que MF + MF' = 10.
Affirmation 1 : la courbe $\mathcal{C}$ est

a. une parabole

b. une ellipse

c. une hyperbole

d. un cercle

Affirmation 2 : le point M est un sommet de la courbe $\mathcal{C}$

a. le point M (4 ; 0)

b. le point M (2 ; 0)

c. le point M (5 ; 0)

d. le point M (0 ; 5)

Affirmation 3 : une équation cartésienne de la courbe $\mathcal{C}$ est

a. $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$

b. $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{25} = 1$

c. $16x^2 + 25y^2 = 400$

d. $25x^2 - 16y^2 = 400$

12 points

exercice

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle : ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \ln x + \ln (x + 1)$ On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unités graphiques 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.

Partie A :

1. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ . Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
    b) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ .

2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Montrer que $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$ .

3.
    a) Étudier, pour tout $x$ de l'intervalle ]0 ;+ $\infty$ [, le signe de $f'(x)$ .
    b) En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

4. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à 10^-1 près.)

$x$	0,1	0,3	0,5	1	2	4	6	8	10	12
$f(x)$				0,7

Partie B

1. a) Résoudre dans ]0 ; + $\infty$ [ l'équation $f(x) = 0$ . (On vérifiera que $f(x)$ s'écrit sous la forme $f(x) = \ln [x(x + 1)]$ et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à 10^-1 près).
    b) Interpréter graphiquement cette réponse.
    c) Montrer que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle [1 ; + $\infty$ [.

2. a) Montrer que la fonction $F$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $F(x) = x \ln x + (x + 1)\ln(x + 1) - 2x$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle.
    b) Calculer l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm² de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 12$ .
On donnera d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm².

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