Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Session 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. A et B sont 2 évènements. La probabilité de l'évènement A est 0,4. La probabilité de l'évènement B est 0,6. La probabilité de l'évènement A $\cap$ B est 0,2.
La probabilité de l'événement A $\cup$ B est :

a) 0,8

b) 1

c) 1,2

d) 0,2

2. Une urne contient six boules : deux blanches notées B₁, B₂, trois jaunes notées J₁, J₂, J₃, une verte notée V. On tire 2 boules de l'urne simultanément. On pourra s'aider d'un tableau.
La probabilité de l'évènement " les 2 boules tirées ont la même couleur " est :

a) $\frac{2}{30}$

b) $\frac{14}{36}$

c) $\frac{8}{30}$

d) $\frac{22}{30}$

3. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $(C)$ d'équation : $25x^2 - 36y^2 - 900 = 0$ Cette courbe est :

a) une ellipse

b) un cercle

c) une hyperbole

d) une parabole

4. Dans un repère orthonormé, l'ellipse (E) a pour équation : $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
Un de ses foyers a pour coordonnées :

a) $\left(2\sqrt{5} \, ; \, 0\right)$

b) $\left(0 \, ; \, 2\sqrt{5}\right)$

c) $\left(0 \, ; \, 2\sqrt{3}\right)$

d) $\left(2\sqrt{3} \, ; \, 0\right)$

5. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 + x$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
L'aire du domaine compris entre $C$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est, en unités d'aire :

a) 6

b) 10

c) 13

d) -6

6. La dérivée de la fonction $f$ définie sur $]\frac{1}{3} \, ; \, +\infty[$ par : $f(x) = \ln(3x - 1)$ est :

a) $f'(x) = \dfrac{1}{3x-1}$

b) $f'(x) = 3$

c) $f'(x) = \dfrac{3}{3x-1}$

d) $f'(x) = \dfrac{1}{(3x-1)^2}$

7. Une primitive de la fonction $f$ , définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x}$ est :

a) $F(x) = 2 - \frac{1}{x^2}$

b) $F(x) = x^2 + x + \ln x$

c) $F(x) = 2 + \ln x$

d) $F(x) = 2$

8. La solution de l'équation : $\frac{1}{2}e^x = 5$ est :

a) 2ln5

b) ln10

c) 10

d) e¹⁰

12 points

exercice 2

Pour une entreprise de production d'énergies renouvelables, un graphiste conçoit un logo dont la construction apparaît dans le problème suivant.

PARTIE A

Soit la fonction $f$ définie sur [0 ; 2] par : $f(x) = e^x + 1$
$C$ désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \overrightarrow{j})$ , d'unité graphique 1 cm.

1. a) Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 2].
b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].

2. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à 10^-1 près.

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$f(x)$

3. Construire la courbe $C$ de la fonction $f$ . Le point O sera placé au centre de la feuille de papier millimétré.

PARTIE B

Soit la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : $g(x) = -x^2 + 2x$ et $C'$ sa courbe représentative dans le repère $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ .

1. Calculer la dérivée de la fonction g et dresser le tableau de variation de g sur [0 ; 2].

2. Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C'$ en son point d'abscisse 2.

3. Construire $T$ et $C'$ dans le repère $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$

PARTIE C

On appelle D le domaine compris entre $C$ , $C'$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$ .
On admet que $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule $A = \displaystyle \int_0^2 [f(x) - g(x)] \text{d}x$
Calculer la valeur exacte de cette aire en cm², puis la valeur arrondie à 10^-1 près.

PARTIE D

1. Dessiner le domaine D₁, symétrique de D par rapport à O.
Colorier le domaine réunion de D₁ et D.

2. Dessiner le domaine D₂, obtenu par rotation de centre O et d'angle 90° du domaine colorié précédemment.

Voir la correction