4 points

exercice 1

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (unité graphique : 1 cm).
On désigne par A et B les points d'affixes respectives et .
Déterminer la forme trigonométrique des nombres et . Placer les points A et B sur une figure.

3. Soit C le point d'affixe .
    a) Placer le point C sur la figure.
    b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe .
    c) Quelle est la nature du triangle BOC ?


4 points

exercice 2

Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante.
À l'origine, il y a 75 cL de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5 % de son volume par évaporation.

1. On note la quantité de liquide, exprimée en cL, présente dans la bouteille au bout de jours.
Ainsi, .
    a) Calculer et .
    b) Exprimer en fonction de .
Quelle est la nature de la suite ?
Vérifier que, pour tout nombre entier .
    c) Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de sept jours (on donnera le résultat arrondi au dixième).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer le nombre minimum de jours nécessaires pour que la bouteille contienne moins de 25 cL.


12 points

probleme

Partie A

Soit la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par    
Le plan est muni d'un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm).
On note la courbe représentative de la fonction dans ce repère.

1. En observant que, pour tout nombre réel , déterminer la limite de la fonction en .

2. Déterminer la limite de la fonction en .

3. On note la fonction dérivée de la fonction sur .
    a) Démontrer que, pour tout nombre réel .
    b) Étudier le signe de suivant les valeurs de .
    c) Calculer la valeur exacte de . En donner une valeur approchée à 10^-1 près.
    d) Dresser le tableau de variations de la fonction sur .

Partie B

1. On note la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
Montrer que la droite a pour équation .

2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel .
    b) Étudier le signe de suivant les valeurs de .
    c) En déduire la position de la courbe par rapport à la droite .

3. Tracer la droite dans le repère puis, sur le même graphique, la partie de la courbe correspondant aux valeurs de appartenant à l'intervalle [-4 ; 3].

Partie C

Soit la fonction définie sur par    
On note la dérivée de la fonction sur .
On admet que, pour tout nombre réel .
On note le domaine plan limité par la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et .

1. Hachurer le domaine sur le graphique représentant la droite et la courbe .

2. Calculer la valeur exacte de l'aire , exprimée en unités d'aire, du domaine . En donner la valeur arrondie au centième.