Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

On note i le complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .
Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ (unité 1 cm).

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes les équations suivantes :
(les solutions seront données sous forme algébrique).
(1) $z^2 - 10z + 50 = 0$
(2) $z + 2 = \text{i} \sqrt{3}z - 6$

2. a) Soit A le point d'affixe z_A = 5 -5i.
Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de z_A.
   b) Soit B le point d'affixe z_B, z_B étant le nombre complexe conjugué de z_A.
Déterminer la notation exponentielle de z_B, puis celle de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}.$
En déduire que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
Construire le triangle OAB dans le repère donné et indiquer sa nature.
   c) Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = -2 - 2\text{i}\sqrt{3}$
Montrer que l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ est le point D, d'affixe $z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i}$ .
Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD.
   d) Soit K le milieu de [AC].
Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\text{OK}}$ et $\overrightarrow{\text{DB}}$ puis montrer que les droites (DB) et (OK) sont perpendiculaires. 4 points

exercice 2

On considère l'équation différentielle du second ordre : $y^{\prim \prim} + \frac{9 \pi^2}{16}y = 0$ (E).

1. Donner la solution générale de (E).

2. Déterminer la solution particulière, notée $f$ , de (E) telle que $f(4) = -\sqrt{3}$ et $f' \left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{3\pi}{4}$ .

3. Vérifier que $f$ s'écrit sous la forme : $f(x) = 2\cos\left(\frac{3\pi}{4}x - \frac{\pi}{6}\right).$

4. Montrer que $f$ est périodique de période $\frac{8}{3}.$

5. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \frac{8}{3}\right]$ .

11 points

probleme

Les trois parties du problème peuvent être résolues indépendamment.
Le plan $\mathscr{P}$ est rapporté à un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.
ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note E le point de coordonnées (ln 2 ; ln 2).

Partie A

Soient a et b deux nombres réels, on désigne par g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = ax + b - \frac{4e^x}{e^x + 2}$ .

1. Calculer la dérivée de g.

2. Déterminer a et b pour que la courbe représentative de g passe par le point E et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Partie B

On se propose d'étudier la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + 2 - \frac{4e^x}{e^x+2}$
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}).$

<1. Montrer que pour tout nombre réel $x$ on a : $f(x) = x - 2 + \frac{8}{e^x + 2}$

2. En utilisant des formes de $f(x)$ , calculer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Montrer que les droites $\mathscr{D}_1$ d'équation $y = x - 2$ et $\mathscr{D}_2$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes à la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ .

3. Montrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \left(\frac{e^x - 2}{e^x + 2}\right)^2$ .

4. Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variation de $f$ .

5. Construire la courbe $\mathscr{C}$ , sa tangente en E et ses asymptotes.

Partie C

1. Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \frac{e^x}{e^x+2}$ .

2. En déduire une primitive de $f$ .

3. Déterminer en cm², en valeur exacte puis au mm² près, l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et le droite d'équation $x = 2$ .

Voir la correction

exercice 1

1. Résolution de $z^2 - 10z + 50 = 0$
Calcul du discriminant : $\Delta = b^2 - 4 ac = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 50 = 100 - 200 = -100 <0$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \frac{-b -i \sqrt{-\Delta}}{2 a} = \frac{10-10i}{2} = 5-5i$
De même : $z_2 = 5+5i$
Ensemble des solutions : $\boxed{S = \lbrace 5-5i ; 5+5i \rbrace }$
Résolution de $z+2 = i\sqrt{3} z - 6$
$z+2 = i\sqrt{3} z - 6 \\\Longleftrightarrow \, z - i\sqrt{3} z = - 6 -2 \\ \Longleftrightarrow \, (1 - i\sqrt{3}) z = - 8 \\ \Longleftrightarrow \, z = \frac{- 8}{1 - i\sqrt{3}} \\ \Longleftrightarrow \, z = \frac{- 8(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} \\ \Longleftrightarrow \, z = \frac{- 8 -8i\sqrt{3}}{1^2 +(\sqrt{3})^2} \\ \Longleftrightarrow \, z = \frac{- 8 -8i\sqrt{3}}{4} \\ \Longleftrightarrow \, z = \frac{- 8 -8i\sqrt{3}}{4} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{z = - 2 -2i\sqrt{3}}$

2. a) Module et argument de $z_A = 5-5i$
$|z_{\text{A}}| = |5-5i| \\ |z_{\text{A}}| = \sqrt{5^2+(-5)^2} \\ |z_{\text{A}}| = \sqrt{50} \\ |z_{\text{A}}| = \sqrt{2 \times 25} \\ |z_{\text{A}}| = 5\sqrt{2}$
Soit $\theta_{\text{A}}$ un argument de $z_{\text{A}}$ ; $\theta_{\text{A}}$ est tel que :
$\. \cos(\theta_{\text{A}}) = \frac{Re(z_{\text{A}})}{|z_{\text{A}}|} = \frac{5}{5\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(\theta_{\text{A}}) = \frac{Im(z_{\text{A}})}{|z_{\text{A}}|} = \frac{-5}{5\sqrt{2}}= -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \rbrace$ donc $\theta_{\text{A}} = -\frac{\pi}{4}$
$\boxed{|z_{\text{A}}| = 5\sqrt{2} \\ Arg(z_{\text{A}}) = -\frac{\pi}{4}}$
La forme exponentielle est donc : $\boxed{z_{\text{A}} = 5\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}}$

2. b) Forme exponentielle de $z_{\text{B}}$
$z_{\text{B}} = \bar{z_{\text{A}}} \\ z_{\text{B}} = \bar{5\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}} \\ z_{\text{B}} = 5\sqrt{2} \bar{e^{-i\frac{\pi}{4}}} \\ \boxed{z_{\text{B}} = 5\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}}$
$\frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \frac{5\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}}{5\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}} \\ \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \frac{e^{i\frac{\pi}{4}}}{e^{-i\frac{\pi}{4}}} \\ \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = e^{i\frac{\pi}{4}} e^{i\frac{\pi}{4}} \\ \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = e^{i \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} \\ \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = e^{i \frac{\pi}{2}} \\ \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \\ \frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = 0 + i \times 1 \\ \boxed{\frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = i}$
On a : $z_{\text{B}} = z_{\text{A}} e^{i \frac{\pi}{2}}$
Donc B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .
De plus, on a OA = OB, donc le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

2. c) Soit z' l'affixe de l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ , alors :
$z' = z_{\text{C}} e^{-i \frac{\pi}{2}} \\ z' = z_{\text{C}} \times (-i) \\ z' = (-2 -2i\sqrt{3}) \times (-i) \\ z' = 2i + 2 i^2 \sqrt{3} \\ z' = 2i - 2 \sqrt{3} \\ z' = z_{\text{D}}$
Donc D est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ .
$\text{OC} = |z_{\text{C}}| \\ \text{OC} = |-2 -2i\sqrt{3}| \\ \text{OC} = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} \\ \text{OC} = \sqrt{4 + 12} \\ \text{OC} = \sqrt{16} \\ \boxed{\text{OC} = 4}$
De même OD = 4. Donc les points C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 4, puis on utilise une de leurs coordonnées qui est entière pour les placer avec précision.

sujet national du bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels 2008 - terminale : image 1

2. d) Affixe du point K, milieu de [AC] :
$z_{\text{K}} = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{C}}}{2} \\ z_{\text{K}} = \dfrac{5-5i -2-2i\sqrt{3}}{2} \\ \boxed{z_{\text{K}} = \frac{3-(5+2\sqrt{3})i}{2}}$
Affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{OK}}$ :
$\boxed{Z_{\overrightarrow{\text{OK}}} = z_{\text{K}} - 0 = \frac{3-(5+2\sqrt{3})i}{2}}$
Donc le vecteur $\overrightarrow{\text{OK}}$ a pour coordonnées : $\boxed{\overrightarrow{\text{OK}} \left( \begin{array}{c} 1,5 \\ -2,5-\sqrt{3} \end{array} \right)}$
Affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{DB}}$ :
$Z_{\overrightarrow{\text{DB}}} = z_{\text{B}} - z_{\text{D}} \\ Z_{\overrightarrow{\text{DB}}} = 5+5i - (-2\sqrt{3} + 2i) \\ \boxed{Z_{\overrightarrow{\text{DB}}} = 5+2\sqrt{3} + 3i}$
Donc le vecteur $\overrightarrow{\text{DB}}$ a pour coordonnées : $\boxed{\overrightarrow{\text{DB}} \left( \begin{array}{c} 5+2\sqrt{3} \\ 3 \end{array} \right)}$
Calcul du produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\text{OK}}$ et $\overrightarrow{\text{DB}}$ :
$\overrightarrow{\text{OK}} \cdot \overrightarrow{\text{DB}} = 1,5 \times (5+2\sqrt{3}) + 3 \times (-2,5-\sqrt{3}) \\ \overrightarrow{\text{OK}} \cdot \overrightarrow{\text{DB}} = 7,5 + 3\sqrt{3} - 7,5 - 3\sqrt{3} \\ \boxed{\overrightarrow{\text{OK}} \cdot \overrightarrow{\text{DB}} = 0}$
Donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{OK}}$ et $\overrightarrow{\text{DB}}$ sont orthogonaux donc les droites (DB) et (OK) sont perpendiculaires.

exercice 2

1. Rappel : l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y''+ \omega^2 y = 0$ est donné par $f(x) = A \cos (\omega x) + B \sin(\omega x)$ où A et B sont deux réels.
Ici, $\omega^2 = \frac{9 \pi^2}{16}$ donc $\omega = \frac{3 \pi}{4}$ .
Donc : $\boxed{f(x) = A \cos \left( \frac{3\pi}{4} x \right) + B \sin \left( \frac{3\pi}{4} x \right)}$

2. Calcul de la dérivée (en utilisant $(\cos u)' = -u' \sin u$ et $(\sin u)' = u' \cos u$ )
$f'(x) = -A \frac{3\pi}{4} \sin \left( \frac{3\pi}{4} x \right) + B \frac{3\pi}{4} \cos \left( \frac{3\pi}{4} x \right)$
Utilisation des conditions initiales
$f(4) = - \sqrt{3} \\ \Longleftrightarrow \, A \cos \left( \frac{3\pi}{4} \times 4 \right) + B \sin \left( \frac{3\pi}{4} \times 4 \right) = -\sqrt{3} \\ \Longleftrightarrow \, A \cos \left( 3\pi \right) + B \sin \left( 3\pi \right) = -\sqrt{3} \\ \Longleftrightarrow \, A \times (-1) + B \times 0 = -\sqrt{3} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{A = \sqrt{3}}$
$f' \left(\frac{4}{3} \right) = - \frac{3\pi}{4} \\ \Longleftrightarrow \, -A \frac{3\pi}{4} \sin \left( \frac{3\pi}{4} \times \frac{4}{3} \right) + B \frac{3\pi}{4} \cos \left( \frac{3\pi}{4} \times \frac{4}{3} \right) = - \frac{3\pi}{4} \\ \Longleftrightarrow \, -A \frac{3\pi}{4} \sin \left( \pi \right) + B \frac{3\pi}{4} \cos \left( \pi \right) = - \frac{3\pi}{4} \\ \Longleftrightarrow \, -A \frac{3\pi}{4} \times 0 + B \frac{3\pi}{4} \times (-1) = - \frac{3\pi}{4} \\ \Longleftrightarrow \, -B \frac{3\pi}{4} = - \frac{3\pi}{4} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{B = 1}$
Donc la solution particulière est donnée par : $\boxed{f(x) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{3\pi}{4} x \right) + \sin \left( \frac{3\pi}{4} x \right)}$

3. On utilise la formule d'addition trigonométrique : $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ avec $a = \frac{3\pi}{4}$ et $b = \frac{\pi}{6}$ :
$2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left[ \cos \left( \frac{3\pi}{4} x\right) \cos \left( \frac{\pi}{6}\right) + \sin \left( \frac{3\pi}{4} x\right) \sin \left( \frac{\pi}{6}\right) \right] \\ 2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left[ \cos \left( \frac{3\pi}{4} x\right) \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \left( \frac{3\pi}{4} x\right) \frac{1}{2} \right] \\ 2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{3\pi}{4} x\right) + \sin \left( \frac{3\pi}{4} x\right) \\ \boxed{2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right) = f(x)}$

4. Périodicité de la fonction $f$
Pour tout réel $x$ , on a :
$f \left( x + \frac{8}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} \times \left( x +\frac{8}{3} \right) - \frac{\pi}{6}\right) \\ f \left( x + \frac{8}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x + \frac{3\pi}{4} \times \frac{8}{3} - \frac{\pi}{6}\right) \\ f \left( x + \frac{8}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x + 2 \pi - \frac{\pi}{6}\right)$
Or, pour tout réel X : $\cos (X + 2\pi) = \cos (X)$ donc :
$f \left( x + \frac{8}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right) \\ \boxed{f \left( x + \frac{8}{3} \right) = f(x)}$
Donc $f$ est périodique de période $\frac{8}{3}$ .

5. Soit F une primitive de $f$ :
$F(x) = 2 \times \frac{4}{3 \pi} \sin \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right) \\ F(x) = \frac{8}{3 \pi} \sin \left( \frac{3\pi}{4} x - \frac{\pi}{6}\right)$
Valeur moyenne m de $f$ sur l'intervalle $\left[ 0 ; \frac{8}{3} \right]$ :
$m = \displaystyle \int_0^{\frac{8}{3}} f(x) dx \\ m = \left[ F(x) \right]_0^{\frac{8}{3}} \\ m = F\left( \frac{8}{3} \right) - F(0) \\ m = \frac{8}{3 \pi} \left[ \sin \left( \frac{3\pi}{4} \times \frac{8}{3} - \frac{\pi}{6}\right) - \sin \left( \frac{3\pi}{4} \times 0 - \frac{\pi}{6}\right) \right] \\ m = \frac{8}{3 \pi} \left[ \sin \left( 2 \pi - \frac{\pi}{6}\right) - \sin \left( - \frac{\pi}{6}\right) \right] \\ m = \frac{8}{3 \pi} \left[ \sin \left( \frac{11\pi}{6}\right) - \sin \left( - \frac{\pi}{6}\right) \right] \\ m = \frac{8}{3 pi} \left[ -\frac{1}{2} - \left( - \frac{1}{2} \right) \right] \\ \boxed{m = 0}$

probleme

Partie A

1. Calcul de la dérivée de la fonction g
On pose : $u=4e^x$ et $v= e^x + 2$
d'où : $u' = 4e^x$ et $v = e^x$
Donc : $g'(x) = a - \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$g'(x) = a - \frac{4e^x (e^x+2) - 4e^x \times e^x}{(e^x +2)^2} \\ g'(x) = a - \frac{4e^{2x} + 8 e^x - 4e^{2x}}{(e^x +2)^2} \\ \boxed{g'(x) = a - \frac{8 e^x}{(e^x +2)^2}}$

2. La courbe passe par le point $\text{E}(\ln 2 ; \ln 2)$ donc :
$g(\ln2) = \ln2 \\ \Longleftrightarrow \, a \ln 2 + b - \frac{4 e^{\ln 2}}{e^{\ln 2}+2} = \ln 2\\ \Longleftrightarrow \, a \ln 2 + b - \frac{4 \times 2}{2+2} = \ln 2\\ \Longleftrightarrow \, a \ln 2 + b - \frac{8}{4} = \ln 2\\ \Longleftrightarrow \, \boxed{a \ln 2 + b - 2 = \ln 2 }$
La tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses au point E, donc le coefficient directeur de cette tangente est nul, donc :
$g'(\ln 2) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, a - \frac{8 e^{\ln 2}}{(e^{\ln 2} +2)^2} = 0 \\ \Longleftrightarrow \, a - \frac{8 \times 2}{(2 +2)^2} = 0 \\ \Longleftrightarrow \, a = \frac{16}{4^2} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{a = 1}$
On réutilise ensuite la relation précédente entre a et b pour trouver b :
$a \ln 2 + b - 2 = \ln 2 \\ \Longleftrightarrow \, \ln 2 + b - 2 = \ln 2 \\ \Longleftrightarrow \, b - 2 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{b = 2}$
La fonction g est donc donnée par : $\boxed{g(x) = x + 2 - \frac{4e^x}{e^x+2}}$

Partie B

1. On commence par faire apparaitre l'expression $x+2$ :
$x-2 + \frac{8}{e^x + 2} = x+2 - 4 + \frac{8}{e^x + 2}$
On met ensuite le 4 au même dénominateur que le 8 :
$x-2 + \frac{8}{e^x + 2} = x+2 - 4 \times \frac{e^x + 2}{e^x + 2} + \frac{8}{e^x + 2} \\ x-2 + \frac{8}{e^x + 2} = x+2 + \frac{-4(e^x + 2)+8}{e^x + 2} \\ x-2 + \frac{8}{e^x + 2} = x+2 + \frac{-4e^x -8+8}{e^x + 2} \\ x-2 + \frac{8}{e^x + 2} = x+2 - \frac{4e^x}{e^x + 2} \\ \boxed{x-2 + \frac{8}{e^x + 2} = f(x)}$

2. Limite en $-\infty$ : on utilise la 1^ère forme
On a : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, e^x = 0$
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, \frac{4e^x}{e^x+2} = \frac{0}{0+2} = 0$
De plus : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, x+2 = -\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) = -\infty}$
Limite en $+\infty$ : on utilise la 2^ème forme
On a : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^x +2 = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{8}{e^x +2} = 0$
De plus : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x-2 = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) = +\infty}$
Montrons que la droite $\scrD_1$ d'équation $y=x-2$ est asymptote en $+\infty$ ; on utilise la 2^ème forme :
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, f(x) - (x-2) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{8}{e^x +2} = 0$
Donc la droite $\scrD_1$ d'équation $y=x-2$ est asymptote en $+\infty$ à la courbe $\scrC$ .
Montrons que la droite $\scrD_2$ d'équation $y=x+2$ est asymptote en $-\infty$ ; on utilise la 1^ère forme :
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) - (x+2) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, \frac{4e^x}{e^x +2} = 0$
Donc la droite $\scrD_2$ d'équation $y=x+2$ est asymptote en $-\infty$ à la courbe $\scrC$ .

3. On utilise le résultat de la partie A pour calculer la dérivée, avec a = 1 :
$f'(x) = 1 - \frac{8 e^x}{(e^x +2)^2}$
On met au même dénominateur :
$f'(x) = \frac{(e^x +2)^2}{(e^x +2)^2} - \frac{8 e^x}{(e^x +2)^2} \\ f'(x) = \frac{(e^x +2)^2 - 8 e^x}{(e^x +2)^2} \\ f'(x) = \frac{e^{2x} + 4e^x +4 - 8 e^x}{(e^x +2)^2} \\ f'(x) = \frac{e^{2x} - 4e^x +4}{(e^x +2)^2} \\ f'(x) = \frac{(e^x -2)^2}{(e^x +2)^2} \\ \boxed{f'(x) = \left( \frac{e^x -2}{e^x +2} \right)^2}$

4. Etude du signe de la fonction dérivée :
Une exponentielle étant toujours strictement positive, le dénominateur de la dérivée est strictement positif.
$f'(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x - 2 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, e^x = 2 \\ \Longleftrightarrow \, x = \ln 2$
On obtient donc le tableau de signe de la dérivée $f'$ :

sujet national du bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels 2008 - terminale : image 2

On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :

sujet national du bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels 2008 - terminale : image 3

5. Représentation graphique

sujet national du bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels 2008 - terminale : image 4

Partie C

1. la fonction h est de la forme $\frac{u'}{u}$ dont une primitive est donnée par $\ln u$ , avec $u(x)=e^x+2$ donc :
$\boxed{H(x) = \ln(e^x +2)}$

2. On a : $f(x) = x+2 -\frac{4e^x}{e^x+2} =x+2 - 4 h(x)$ donc une primitive de $f$ est donnée par :
$F(x) = \frac{x^2}{2} + 2 x - 4 H(x) \\ \boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} + 2 x - 4 \ln(e^x +2)}$

3. L'unité d'aire associée au repère est égale à 2 × 2 = 4 cm².
De plus, la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0 ; 2], donc l'aire est donnée par :
$A = 4 \displaystyle \int_0^2 f(x) dx \\ A = 4\left[ F(x) \right]_0^2 \\ A = 4\left[ F(2) - F(0) \right] \\ A = 4\left[ \left( \frac{2^2}{2} + 2 \times 2 - 4 \ln(e^2 +2) \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 2 \times 0 - 4 \ln(e^0 +2) \right) \right] \\ A = 4\left[ \left( 2 + 4 - 4 \ln(e^2 +2) \right) - \left( - 4 \ln(1 +2) \right) \right] \\ A = 4\left[ 2 + 4 - 4 \ln(e^2 +2) + 4 \ln(3) \right] \\ A = 4\left[ 6 - 4 \left( \ln(e^2 +2) - \ln(3) \right) \right] \\ A = 4\left[ 6 - 4 \ln\left( \frac{e^2 +2}{3} \right) \right] \\ \boxed{A = 24 - 16 \ln\left( \frac{e^2 +2}{3} \right) \approx 5,75 \, cm^2}$

Publié par Cel/jamo le 27-06-2008

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