Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2008

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

On note i le complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .
Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ (unité 1 cm).

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes les équations suivantes :
(les solutions seront données sous forme algébrique).
(1) $z^2 - 10z + 50 = 0$
(2) $z + 2 = \text{i} \sqrt{3}z - 6$

2. a) Soit A le point d'affixe z_A = 5 -5i.
Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de z_A.
   b) Soit B le point d'affixe z_B, z_B étant le nombre complexe conjugué de z_A.
Déterminer la notation exponentielle de z_B, puis celle de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}.$
En déduire que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
Construire le triangle OAB dans le repère donné et indiquer sa nature.
   c) Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = -2 - 2\text{i}\sqrt{3}$
Montrer que l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ est le point D, d'affixe $z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i}$ .
Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD.
   d) Soit K le milieu de [AC].
Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\text{OK}}$ et $\overrightarrow{\text{DB}}$ puis montrer que les droites (DB) et (OK) sont perpendiculaires. 4 points

exercice 2

On considère l'équation différentielle du second ordre : $y^{\prim \prim} + \frac{9 \pi^2}{16}y = 0$ (E).

1. Donner la solution générale de (E).

2. Déterminer la solution particulière, notée $f$ , de (E) telle que $f(4) = -\sqrt{3}$ et $f' \left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{3\pi}{4}$ .

3. Vérifier que $f$ s'écrit sous la forme : $f(x) = 2\cos\left(\frac{3\pi}{4}x - \frac{\pi}{6}\right).$

4. Montrer que $f$ est périodique de période $\frac{8}{3}.$

5. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \frac{8}{3}\right]$ .

11 points

probleme

Les trois parties du problème peuvent être résolues indépendamment.
Le plan $\mathscr{P}$ est rapporté à un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.
ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note E le point de coordonnées (ln 2 ; ln 2).

Partie A

Soient a et b deux nombres réels, on désigne par g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = ax + b - \frac{4e^x}{e^x + 2}$ .

1. Calculer la dérivée de g.

2. Déterminer a et b pour que la courbe représentative de g passe par le point E et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Partie B

On se propose d'étudier la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + 2 - \frac{4e^x}{e^x+2}$
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j}).$

<1. Montrer que pour tout nombre réel $x$ on a : $f(x) = x - 2 + \frac{8}{e^x + 2}$

2. En utilisant des formes de $f(x)$ , calculer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Montrer que les droites $\mathscr{D}_1$ d'équation $y = x - 2$ et $\mathscr{D}_2$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes à la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ .

3. Montrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \left(\frac{e^x - 2}{e^x + 2}\right)^2$ .

4. Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variation de $f$ .

5. Construire la courbe $\mathscr{C}$ , sa tangente en E et ses asymptotes.

Partie C

1. Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \frac{e^x}{e^x+2}$ .

2. En déduire une primitive de $f$ .

3. Déterminer en cm², en valeur exacte puis au mm² près, l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et le droite d'équation $x = 2$ .

Voir la correction