Fiche de mathématiques

Bac 2009

Bac Economique et Social
Métropole - Session Juin 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de QUATRE exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année : $x_1$	0	1	2	3	4	5	6	7
Indice : $y_i$	100	108,5	120,7	134,9	154,8	176,4	193,5	213,6

Source : INSEE

1. Calculer le pourcentage d'augmentation de cet indice de l'année 2000 à l'année 2007.

2. Construire le nuage de points $M_i(x_i ; y_i)$ dans le plan $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :

sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour représenter une année.

sur l'axe des ordonnées, on placera 100 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 10 unités.

3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le plan $(\mathcal{P})$ .

4. L'allure de ce nuage permet de penser qu'un ajustement affine est adapté.
a) A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $(d)$ d'ajustement de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
b) Tracer la droite $(d)$ dans le plan $(\mathcal{P})$ .

5. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer l'indice du prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse.

5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-2 ; 5], décroissante sur chacun des intervalles [-2 ; 0] et [2 ; 5] et croissante sur l'intervalle [0 ; 2].
On note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle [-2 ; 5].
La courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction $f$ est tracée en annexe dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A(-2 ; 9), B(0 ; 4), C(1 ; 4,5) et E(4 ; 0).
En chacun des points B et D, la tangente à la courbe $(\Gamma)$ est parallèle à l'axe des abscisses.
On note F le point de coordonnées (3 ; 6). La droite (CF) est la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point C.
bac économique et social Métropole Juin 2009 - terminale : image 1

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Annexe

1. A l'aide des informations précédentes et de l'annexe, préciser sans justifier :
    a) les valeurs de $f(0), ~ f'(1) \text{ et } f'(2)$ ,
    b) le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [-2 ; 5],
    c) le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [-2 ; 5].

2. On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln(f(x))$ où ln désigne la fonction logarithme népérien.
    a) Expliquer pourquoi la fonction $g$ est définie sur l'intervalle [-2 ; 4[.
    b) Calculer $g(-2), ~g(0) \text{ et } g(2)$ .
    c) Préciser, en le justifiant, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [-2 ; 4[.
    d) Déterminer la limite de la fonction $g$ lorsque $x$ tend vers 4.
Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction $g$ .
    e) Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ .

5 points

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le graphe ci-dessous représente le plan d'une ville. Le sommet A désigne l'emplacement des services techniques. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements de jardins publics. Une arête représente l'avenue reliant deux emplacements et est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet.
bac économique et social Métropole Juin 2009 - terminale : image 2

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Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I : On s'intéresse au graphe non pondéré.

1. Répondre sans justification aux quatre questions suivantes :
    a) Ce graphe est-il connexe ?
    b) Ce graphe est-il complet ?
    c) Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
    d) Ce graphe admet-il un cycle eulérien ?

2. Déterminer, en justifiant, le nombre chromatique de ce graphe.

Partie II : On s'intéresse au graphe pondéré.

Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G.
La réponse sera justifiée par un algorithme.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une salle de jeux comporte deux consoles identiques proposait le même jeu.
Un jour, l'une des deux est déréglée.
Les joueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.

1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
On note :

D l'événement "le joueur choisit la console déréglée" et $\overline{\text{D}}$ l'événement contraire.

G l'événement "le joueur gagne la partie" $\overline{\text{G}}$ l'événement contraire.
Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figurent certaines probabilités :
bac économique et social Métropole Juin 2009 - terminale : image 3

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Ainsi 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi la console déréglée.

    a) Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.
    b) Calculer la probabilité de l'événement "le joueur choisit la console déréglée et il gagne".
    c) Calculer la probabilité de l'événement "le joueur choisit la console non déréglée et il gagne".
    d) Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.
    e) Calculer la probabilité que le joueur ait choisi la console déréglée sachant qu'il a gagné.

2. Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et joue une partie.
Calculer la probabilité de l'événement "le joueur gagne exactement deux fois". Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A - Etude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5 ; 8] par $f(x) = 20(x - 1)e^{-0,5x}$ .
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur intervalle [0,5 ; 8].

1. a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5 ; 8], $f'(x) = 10(-x + 3)e^{-0,5x}$ .
b) Etudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0,5 ; 8] et en déduire le tableau dc variation de la fonction $f$ .

2. Construire la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ . On prendra pour unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

3. Justifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,5 ; 8] par $F(x) = \dfrac{-40(x+1)}{e^{0,5x}}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5 ; 8].

4. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I définie par $I = \displaystyle \int_{1,5}^5 f(x) dx$ .

Partie B - Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.
La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.
Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A de la façon suivante : si, un mois donné, on produit $x$ centaines de bicyclettes, alors $f(x)$ modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.
Dans la suite de l'exercice on utilise ce modèle.

1. a) Vérifier que si l'entreprise produit 220 bicyclettes un mois donné, alors elle réalise ce mois là un bénéfice de 7989 euros.
    b) Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes un mois donné.

2. Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et le modèle précédent.
Justifier chaque réponse.
    a) Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?
    b) Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum ? Préciser alors ce bénéfice à l'euro près.
    c) Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8000 euros ?

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