Fiche de mathématiques

Bac 2009

Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2009

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n'est pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.
On note :

$D$ l'évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;

$R$ l'évènement : « l'unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».

1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2. a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
b) On dit qu'il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu'il n'est pas défectueux, ou qu'il n'est pas rejeté alors qu'il est défectueux.
Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle.

3. Montrer que la probabilité qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.

4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé.
Un lecteur MP3 est :

commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs,

détruit s'il est rejeté au moins deux fois,

commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50€.
Son prix de vente est de 120€ pour un lecteur avec logo et 6€ pour un lecteur sans logo.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
b) Calculer à 10^-2 près l'espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
On supposera connus les résultats suivants :

P[/tex]our tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c$ , avec A $\neq$ C et A $\neq$ B :
$\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg $\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\vect{\text{AC}} , \vect{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif ;

Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel :
$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg $(z) = \theta + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.
Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$ .

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , unité graphique 1 cm.
Soit $f$ l'application qui, à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z'$ telle que : $z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}$ .

1. a) Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$
    b) Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$ .
    c) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .

2. On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = -4 + 6\text{i}$ .
    a) Placer les points A, B et $\Omega$ sur une figure que l'on completera au fur et à mesure des questions.
    b) Déterminer les affixes des points A' et B' images respectives des points A et B par $f$ .

3. On appelle $m, n, p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA'], [A'B], [BB'] et [B'A].
    a) Déterminer $m$ . On admettra que $n = 1 + 7\text{i}, p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$ .
    b) Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.
    c) Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$ .
En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.
4. Démontrer que les droites (B'A) et ( $\Omega$ N) sont perpendiculaires.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
On supposera connu le résultat suivant :
Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \C - \{0\}$ et $b \in \C$ .
Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points teIs que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , unité graphique 2 cm.
On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\text{i}, z_{\text{B}} = 2, z_{\text{C}} = 4+6\text{i}, z_{\text{D}} = -1 +\text{i} \text{et} z_{\text{E}} = -3+3\text{i}$ .

1. Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions.

2. Déterminer la nature du triangle ABC.

3. Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f$ (A) = D et $f$ (B) = A.
    a) Donner l'écriture complexe de $f$ .
    b) Déterminer l'angle, le rapport et le centre $\Omega$ de cette similitude.
    c) Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude $f$ .
    d) En déduire la nature du triangle DAE.

4. On désigne par $\left(\Gamma_{1}\right)$ le cercIe de diamètre [AB] et par $\left(\Gamma_{2}\right)$ le cercle de diamètre [AD].
On note M le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{1}\right)$ et de la droite (BC), et N le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{2}\right)$ et de la droite (AE).
    a) Déterminer l'image de M par la similitude $f$ .
    b) En déduire la nature du triangle $\Omega$ MN.
    c) Montrer que MB $\times$ NE = MC $\times$ NA.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On considère les points : A (1 ; -1 ; 3), B (0 ; 3 ; 1), C (6 ; -7 ; -1), D (2 ; 1 ; 3) et E (4 ; -6 ; 2).

1. a) Montrer que le barycentre du système {(A,2),(B,-1),(C,1)} est le point E.
    b) En déduire l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ de l'espace tels que $\left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{21}$ .

2. a) Montrer que les points A, B et D définissent un plan.
    b) Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD).
    c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD).

3. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
    b) Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD).

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation
Montrer que le plan (ABD) et l'ensemble $\Gamma$ , déterminé à la question 1., sont sécants. Préciser les éléments caractéristiques de cette intersection.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats.

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

Partie A

La courbe $(\mathcal{C})$ , donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0 ; +\infty[$ , de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0 ; +\infty[$ .
La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O et A $\left(1 ; \dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0 ; 1], elle est au dessus du segment [OA].

1. Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$ .

2. Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant \dfrac{1}{4\text{e}}$ .

Partie B

On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. On considère la fonction $g$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$ .
Établir que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0 ; +\infty[$ .

3. a) Montrer que pour tout $x$ de $[0 ; +\infty[, f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires.
    b) En déduire les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ .

4. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n} = \displaystyle \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x$ .
    a) Montrer que pour tout $x$ de $[0 ; +\infty[, 0 \le \dfrac{x}{x^2 + 1} \le \dfrac{1}{2}$ .
    b) Montrer que pour tout entier naturel $n, 0 \leqslant u_{n} \le \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$ .
    c) En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . ANNEXE
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