Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
1. Soit (E) l'ensemble des points d'affixe vérifiant : , étant un nombre réel.
a) (E) est une droite passant par le point d'affixe .
b) (E) est le cercle de centre d'affixe et de rayon 1.
c) (E) est le cercle de centre d'affixe et de rayon 1.
d) (E) est le cercle de centre d'affixe et de rayon .
2. Soit l'application du plan qui, à tout point d'affixe associe le point d'affixe tel que .
a) est une homothétie.
b) Le point d'affixe est un antécédent du point d'affixe i.
c) est la rotation de centre le point d'affixe et d'angle .
d) est la rotation de centre le point d'affixe et d'angle .
3. Soit (F) l'ensemble des points d'affixe vérifiant .
Soient les points A, B et C d' affixes respectives et .
a) C est un point de (F).
b) (F) est la médiatrice du segment [AB].
c) (F) est la médiatrice du segment [AC].
d) (F) est le cercle de diamètre [AB].
4. On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation .
Cette équation admet :
a) Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.
b) Une solution réelle.
c) Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.
d) Une solution qui a pour partie imaginaire 2.
6 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Soient et les fonctions définies sur l'intervalle par
et .
On note et les représentations graphiques des fonctions et dans le plan muni d'un repère .
Partie A
La courbe représentative de la fonction dans un repère est donnée en annexe (à rendre avec la copie).
ANNEXE À rendre avec la copie
1. D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction et sa limite en ?
2. Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration.
3. Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe représentative de la fonction .
4. Quelle semble être la position relative de la courbe par rapport à la courbe ?
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
Partie B
L'objectif de cette partie est de calculer, en unités d'aire, la mesure de l'aire de la partie du plan comprise entre les courbes et et les droites d'équations et .
1. Hachurer sur l'annexe cette partie du plan.
2. Soit I .
Démontrer que I .
3.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soit la fonction définie sur l'intervalle par
.
a) Calculer la dérivée de la fonction .
b) En déduire une primitive sur l'intervalle de la fonction .
4. Déterminer la valeur exacte de l'aire .
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut et le défaut . Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts.
1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes.
On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.
On note l' évènement « le sac présente le défaut » et I'évènement « le sac présente le défaut ». Les probabilités des évènements et sont respectivement = 0,02 et = 0,01 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.
a) Calculer la probabilité de l'évènement C « le sac prélevé présente le défaut et le défaut ».
b) Calculer la probabilité de l'évènement D « le sac est défectueux ».
c) Calculer la probabilité de l'évènement E « le sac ne présente aucun défaut ».
d) Sachant que le sac présente le défaut , quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut ?
2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à 0,03.
On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs. On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.
a) Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Quelle est la probabilité de l'évènement « au moins un sac est défectueux » ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Soient A(1 ; 2; 0), B(2; 2; 0), C(1 ; 3; 0) et D(1 ; 2; 1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal .
(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ;
(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ;
(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.
1. Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne .
On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne et que le plan (R) a pour équation cartésienne .
2. a) Résoudre le système :
b) En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2 ; 3 ; 1).
c) Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).
En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
3. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères , et .
4.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. a) Montrer que tout point de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
b) Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ?
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
1. Soient F le point de coordonnées et le plan d'équation .
On note la distance d'un point M au plan .
Montrer que l'ensemble des points M de coordonnées qui vérifient =MF a pour équation .
2. a) Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble avec le plan d'équation ?
b) Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble avec le plan d'équation ?
Représenter cette intersection dans le repère .
3. Dans cette question, et désignent des nombres entiers naturels.
a) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de par 7 ?
b) Démontrer que 7 divise si et seulement si 7 divise et 7 divise .
4.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble et du plan d'équation et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer.
Publié par TP/
le
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