Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Antilles - Guyane - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
Le plan complexe est muni du repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 1 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante (E) : $(E) : (z - 2)\left(\text{i}z + \text{i} + \sqrt{3}\right) = 0$ . On donnera la fonne algébrique des solutions.

2. Les points A et B ont pour affixes respectives: $z_{\text{A}} = 2$ , $z_{\text{B}} = - 1 + \sqrt{3}\text{i}$ .
    a) Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ .
    b) Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{B}}$ .
    c) Expliquer pourquoi les points A et B sont sur le même cercle $\Omega$ de centre O et de rayon 2.
    d) On considère le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -1 + \lambda\text{i}$ où $\lambda$ est un nombre réel négatif.
Déterminer le nombre $\lambda$ tel que le point C soit sur le cercle $\Omega$ .
Que représente le nombre complexe $z_{\text{C}}$ par rapport au nombre complexe $z_{\text{B}}$ ?
    e) Sur la feuille annexe 1, placer avec soin les points A, B et C dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
(On laissera apparents les traits de construction à la règle et au compas. Ces traits seront pris en compte dans l'évaluation de la question.)
    f) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

5 points

exercice 2

Un objet produit en série a un coût de production de 95 euros.
Un objet défectueux à l'issue de sa fabrication peut présenter seulement le défaut A, seulement le défaut B, ou les deux défauts A et B simultanément.
La garantie permet d'effectuer les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants :
    10 euros pour le seul défaut A,
    15 euros pour le seul défaut B,
    25 euros pour les deux défauts A et B.

1. Sur un lot L de 200 objets prélevés sur l'ensemble de la production, on constate que 16 objets ont au moins le défaut A, 12 objets ont au moins le défaut B et 180 objets n'ont aucun des deux défauts.
    a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :

Nombre d'objets du lot L	Avec le défaut A	Sans le défaut A	Total
Avec le défaut B
Sans le défaut B
Total

    b) On prélève au hasard un objet panni les 200~objets du lot L, décrits précédemment.
Calculer la probabilité $p_{1}$ que cet objet ne présente aucun défaut. On donnera la valeur décimale de $p_{1}$ .
    c) On prélève au hasard un objet parmi les 200 objets du lot L, décrits précédemment.
Calculer la probabilité $p_{2}$ que cet objet présente seulement le défaut A. On donnera la valeur décimale de $p_{2}$ .

2. Pour la suite de l'exercice. on admettra que, sur l'ensemble de la production, 90% des objets n'ont aucun défaut, 4% des objets ont le seul défaut A. 2% des objets ont le seul défaut B et 4% des objets ont les deux défauts A et B.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard sur l'ensemble de la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire le coût de production augmenté éventuellement du coût de réparation.
    a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$ ?
    b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ . (On pourra présenter cette loi sous la forme d'un tableau)
    c) Calculer l'espérance mathématique E $(X)$ de cette variable aléatoire $X$ . Que représente-t-elle pour l'usine ?
On admet pour la suite de l'exercice que tous les objets produits sont vendus.
    d) L'usine peut-elle espérer faire des bénéfices en vendant 96 euros chaque objet produit ?
    e) L'usine veut faire un bénéfice moyen de 10 euros par objet.
Expliquer comment on doit alors choisir le prix de vente d'un objet produit.

11 points

probleme

Partie A

$f$ est une fonction définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ .
La courbe représentative de cette fonction $f$ , notée $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan.

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 1

Les deux questions suivantes sont indépendantes.

1. Parmi les trois courbes données ci-dessous se trouve la représentation graphique de la fonction $f'$ , où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ . Indiquez de quelle courbe il s'agit en justifiant votre choix.

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 2

Courbe 1

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 3

Courbe 2

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 4

Courbe 3

2. La fonction $f$ est définie par $f(x) = \text{e}^{\alpha x} - 2\text{e}^{x}$ , où $\alpha$ est un nombre réel. Sachant que la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées (0 ; -1) est horizontale, déterminer le nombre $\alpha$ . On détaillera le raisonnement et les calculs.

Partie B

La fonction $f$ est la fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = \text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x}$ .
La fonction $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ .

1. Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $+ \infty$
(on pourra factoriser par $\text{e}^x$ ).

2. Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $- \infty$ . Interpréter graphiquement.

3. Vérifier que pour tout nombre réel $x : f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 1\right)$ .
Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (on justifiera soigneusement le signe de $f'(x)$ ).

Partie C

Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^x + 4$ . On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $X^2 - 3X - 4 = 0$ .

2. En déduire les coordonnées du (ou des) points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ .
$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe 2, dans le même repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan. L'unité est 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

On note $S$ le domaine du plan délimité par la droite d'équation $x = 0$ , la droite d'équation $x = 1$ , la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$ .
a) Hachurer sur la feuille annexe 2 le domaine $S$ .
b) Calculer, en unités d'aire puis en cm², la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$ . Annexe 1 (à rendre avec la copie)

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 5

Annexe 2 (à rendre avec la copie)

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Antilles Guyane Juin 2009 - terminale : image 6

Publié par TP/ le 30-11--0001

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