Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Métropole - Session Septembre 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

1. Soit (E) l'équation différentielle : $y' + y = 0$ , où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
    a) Résoudre l'équation (E).
    b) Montrer que la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 1$ est la fonction $f$ définie par $f(x) = \text{e}^{-x}$ .

2. a) Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [2 ; 3].
    b) Déterminer, en fonction de $n$ , la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [ $n$ ; $n+1$ ].

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n} = \left(1 - \text{e}^{-1}\right)\text{e}^{-n}$ , pour tout $n$ entier positif ou nul.
Quelle est la nature de cette suite ?

4 points

exercice 2

Le plan complexe est rapporté à un repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ orthonormal direct.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^3 - 12z^2 + 48z = 0$ .
2. Soient A et B les points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que $z_{\text{A}} = 6 + 2\text{i}\sqrt{3}, z_{\text{B}} = 6 - 2\text{i}\sqrt{3}$ .
    a) En prenant comme unité graphique 1 cm, placer les points A et B dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
(On utilisera une feuille de papier millimétré fournie avec le sujet)
    b) Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ .
    c) Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
    d) Soit $\Omega$ le point d'affixe 4. Démontrer que le points O, A et B se trouvent sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ dont on précisera le rayon en cm.

11 points

probleme

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\text{I} = ]0 ; + \infty[$ par $g(x) = x^2 - 2\ln (x) + 4$ et dont la représentation graphique est donnée ci-après.

1. Soit $g'$ la dérivée de $g$ sur l'intervalle I. Montrer que $g'(x) = 2\dfrac{x^2 - 1}{x}$ .

2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur I.

3. En déduire le signe de $g(x)$ sur I.

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole septembre 2009 - terminale : image 1

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I, par $f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln (x) - 1}{x}$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

1. a) Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    b) Étudier la limite de $f$ en $0$ en remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}$ .

2. On note $f'$ la dérivée de $f$ .
    a) Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$ .
    b) En utilisant la partie A donner le signe de $f'(x)$ . En déduire que la fonction $f$ est croissante sur I.
    c) Calculer $f(1)$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur I.

3. Construire sur une feuille de papier millimétré, la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ en prenant comme unité graphique 2 cm.

Partie C

On considère la fonction $F$ , définie et dérivable sur l'intervalle I, d'expression : $F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\left[\ln (x) - 1 \right]^2$ .
1. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie à la partie B.

2. Dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = \text{e}$ .
Hachurer la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et délimitée par $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ .

3. Que représente le nombre $A = 4\left[F(\text{e}) - F(1)\right]$ .
Calculer la valeur exacte de $A$ , puis sa valeur arrondie au centième.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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