Fiche de mathématiques

Bac 2009

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Métropole - Session Juin 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.

6 points

exercice 1

Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de dessus de la piscine), où $(O ; \vec{i},\vec{j})$ est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : ${}^{\;\frown}_{\text{AB}}$ de centre O et de rayon 3, et ${}^{\;\frown}_{\text{CD}}$ de centre O $'$ et de rayon 4, reliés par deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ . L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure.

La courbe $\mathcal{C}$ reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 8]. bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2009 - terminale : image 1

bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2009 - terminale : image 1

1. a) En remarquant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A d'abscisse $0$ , le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de $f(0)$ , $f(8)$ , $f'(0)$ et $f'(8)$ .
    b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels $a$ , $b$ , $c$ et $d$ tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 8], $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ .
Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $x$ .
    c) Déduire des questions précédentes que $c = 0$ et $d = 3$ et que les réels $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} 512a + 64b&=&1 \\ 192a+16b&=&0 \\ \end{array}\right.$ .
    d) Résoudre le système précédent.

2. Par la suite, on admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 8],
$f(x) = - \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{3}{64} x^2 + 3$ , et que $f$ est strictement positive sur [0 ; 8].

Le but de cette question est de déterminer l'aire de la piscine, en m², sachant que la figure 1 est une représentation à l'échelle 1/100 de la réalité.
    a) Expliquer une démarche qui permet d'obtenir l'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, pourra être prise en compte.
    b) Calculer, en m², la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner également la valeur arrondie à 0,1 m² de cette aire.

3. La profondeur d'eau de cette piscine est constante, égale à 1,60 m. Calculer, en m³, la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donner également la valeur arrondie au m³ de ce volume.

5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 5 cm.
On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + \text{i})$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$

1. a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
    b) Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$ .
    c) Tracer le cercle $\mathcal{C}$ , et placer les points A et B.
    d) Soit I le milieu du segment [AB] et $z_{\text{I}}$ son affixe. Placer I sur la figure et prouver que $z_{\text{I}} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\text{i}$ .

2. a) Calculer la distance OI, et prouver que OI $= \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .
    b) Démontrer que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ . En déduire un argument de $z_{\text{I}}$ .
    c) Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{I}}$ .

3. Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ est $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

9 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x} -x + 2$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

Partie A : étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ par $g(x) = 1- \ln x - x^2$ .
1. Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [. En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

2. Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

Partie B : étude de la fonction $f$

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ . Interpréter graphiquement cette limite.
    b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
    c) Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    d) Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ .

2. a) Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [,
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ .
    b) Établir le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

3. a) Déterminer les coordonnées du point A de la courbe $\mathcal{C}$ tel que la tangente en ce point soit parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$ .
    b) Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ , tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse e.
On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$ .

4. a) Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle ]0 ; 1[.
On appelle B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$ .
    b) Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$ .

5. Dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , placer les points A et B puis tracer les droites $\mathcal{D}$ , $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

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