Fiche de mathématiques

Bac 2009

Baccalauréat STL La Réunion juin 2009
Biochimie - Génie biologique

Calculatrice et formulaire autorisés
Durée de l'épreuve : 2 heures
Coefficient : 2

Attention : Le texte encadré ci-dessous est commun aux exercices indépendants 1 et 2.

L'Artemia salina est un petit crustacé qui fait partie du plancton marin. Ses qualités nutritionnelles en font une nourriture de choix pour la plupart des écloseries de poissons dans le monde.

8 points

exercice 1

Dans des conditions physico-chimiques appropriées (pH, température, oxygénation, éclairage),un magasin d'aquariophilie fait l'élevage des Artemia.

À l'aide d'un appareil à imagerie numérique (Zooscan), on a pu mesurer, pour des temps $t_{i}$ exprimés en jours, le nombre $N_{i}$ d'Artemia exprimé en centaines :

$t_{i}$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$N_{i}$	5	20	50	150	370	610	740	800	820

1. On pose : $y_{i} = \ln \left(\dfrac{825}{N_{i}} - 1 \right)$ .
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à 10^-1 près :

$t_{i}$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y_{i}$	5,1

2. a) Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm.
    b) Calculer les coordonnées, arrondies à 10^-1 près, du point moyen G du nuage de points $M_{i}\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ .

3. a) Tracer la droite (D) passant par G et le point A(0 ; 5, 1).
    b) Déterminer son équation sous la forme $y = a t+ b$ . On donnera les valeurs de $a$ et de $b$ arrondies à 10^-1 près.

4. On admet que la droite (D) constitue un ajustement convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ .
    a) Calculer le nombre d'Artemia que l'on peut prévoir au bout de 10 jours d'élevage.
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
En utilisant l'équation de la droite (D) et la relation $y = \ln\left(\dfrac{825}{N} - 1\right)$ , démontrer que le nombre $N$ d'Artemia que l'on peut prévoir après $t$ jours d'élevage est donné en centaines par la formule : $N(t) = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{-0,4t + 5,1}}$ .

12 points

exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $f(t) = \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4t + 5,1}}}$ . On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

1. a) Calculer $f(0)$ .
    b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
En déduire l'existence d'une asymptote $(\Delta)$ pour la courbe ( $\mathcal{C}$ ) de $f$ .

2. a) Montrer que $f'(t) = \dfrac{\nombre{54120}\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t + 5,1}} \right)^2}$ , où $f'$ désigne la dérivée de $f$ .
    b) Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0 ; +\infty[$ .
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ .

3. a) Calculer le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 12,75. On arrondira cette valeur à l'unité.
    b) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir le résultat à l'unité) :

$t_{i}$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y_{i}$	5,1

c)Construire dans un même repère la courbe $(\mathcal{C})$ , l'asymptote $(\Delta)$ et la tangente (T) en prenant 1 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 50 unités en ordonnée.

Partie B

On modélise l'évolution de la population d'Artemia salina par la fonction $f$ .

1. En utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ déterminer au bout de combien de temps la population aura atteint 41 250 individus.

2. Retrouver par le calcul ce résultat. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie à 10^-2.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Comment interprétez-vous les résultats des questions A. 1. a. et A. 1. b. ?

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