Fiche de mathématiques

Bac 2009

Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2009

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.

5 points

exercice 1

On considère l'équation différentielle $2y'+ y=0 \quad (E)$ , où l'inconnue $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ .
2. On note $f$ la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant $f(0)=2$ . Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2 \text{e}^{-\frac{x}{2}}$ .
3. On note M la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;2]. Calculer M. On donnera la valeur exacte de M et son arrondi à 10^-1 près.
4. La courbe représentative de $f$ est donnée par l'un des trois graphiques suivants :
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2009 - terminale : image 1

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2009 - terminale : image 1

Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;2] ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique.

6 points

exercice 2

On note $\text{i}$ le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$ .
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O\;;\;\vec{u},\,\vec{v})$ (unité graphique : 2cm).
On considère les points $A,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $\displaystyle z_A=3+\text{i}\sqrt3 ,\ z_B= \overline{z_A},\ z_C=2$

1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_A ,\ z_B,\ z_C$ .
2. Écrire les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sous forme exponentielle.
3. Placer les points $A,\ B,\ C$ sur une figure.
4. Déterminer l'affixe du point $A'$ symétrique du point $A$ par rapport au point $C$ .
5. Montrer que les points $A,\ B,\ A'$ et $O$ appartiennent à un même cercle de centre $C$ . On précisera le rayon de ce cercle.
6. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que la droite $(AC)$ est une médiane du triangle $OAB$ .

9 points

probleme

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\text{e}^{-x}$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O\;;\;\vec{i},\,\vec{j})$ (unité graphique : 2cm).

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

2. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x) = \text{e}^{-x}(x\text{e}^x+1)$ . En déduire la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ .

3. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    a) Calculer $f'(x)$ .
    b) Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ . Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
    c) Étudier le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$ .
    d) Établir le tableau de variations de la fonction $f$ (on indiquera les limites).

4. a) Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    b) Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ .
    c) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ .

5. Calcul d'aire
    a) Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    b) Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ .
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$ .
Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ , puis son arrondi à $10^{-2}$ près.

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