Fiche de mathématiques

Bac 2009

Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2009

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

4 points

exercice 1

Soit l'équation différentielle (E) : $y' + y = 2x$ , où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable $x$ et $y'$ sa dérivée.

1. Résoudre l'équation différentielle (H) : $y' + y = 0$

2. Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ definie sur $\mathbb{R}$ par, $g(x) = ax + b$ , soit solution de l'équation (E).

3. a) Le nombre $k$ désignant une constante réelle, on considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = k \text{e}^{-x} + 2x - 2$
Vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation (E).
    b) Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 0$

4. Dans cette question, on prend $k = 2$ .
    a) Calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]
    b) Donner une valeur approchée de $m$ à 10^-2 près.

5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O~;~\vec{u}~,~\vec{v})$ direct. L'unité graphique est égale à 4cm.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ , l'équation : $\ z^2-2\sqrt{3} z + 4 = 0$ .
    b) On désigne par $z_1$ et $z_2$ les solutions, $z_1$ étant celle dont la partie imaginaire est négative.
Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

2. Soit A le point du plan dont l'affixe est $z_1$ et B celui dont l'affixe est $z_2$ .
Placer les points A et B dans le pan complexe et démontrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Soit E le point d'affixe $z_3 = \text{e}^{-i\pi/3}$ et F le point d'affixe $z_4 = \text{e}^{i\pi/6}$ .
    a) F est l'image de E par une transformation du plan.
Donner la nature de cette transformation et ses éléments caractéristiques.
    b) Montrer que F est le milieu du segment [OB].

4. Soit D l'image de E par la translation de vecteur $2\vec{v}$ .
    a) Placer les points D, E et F sur la figure.
    b) Déterminer l'affixe de D.
    c) Montrer que OD = DB.
    d) Qu'en déduire pour la droite (AD) ? Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

11 points

probleme

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x)= x - 5 + 5 \ln x$ .
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ .

1. Calculer $g'(x)$ pour $x$ dans l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [. Étudier le signe de $g'(x)$ et donner le sens de variation de la fonction $g$ (l'étude des limites n'est pas demandée).

2. a) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique dans l'intervalle [1 ; 5]. On note $\alpha$ cette solution.
b) Déterminer la valeur décimale arrondie au centième de $\alpha$ .

3. Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à ]0 ; + $\infty$ [.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{(x-5)\ln x}{x}$
On peut donc aussi écrire : $f(x) = \dfrac1x (x-5)\ln x$ ou encore $f(x) = \ln x -\dfrac{5 \ln x}{x}$

1. a) Déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
    b) Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ .

2. a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ .
    b) Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire le signe de $f'(x)$ .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O~;~\vec{i},~\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.
    a) Soit A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1.
Donner un équation de la droite $\mathcal{D}$ , tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$ .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées.
    b) Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie C

1. Soit $F$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $F(x)= x\ln x - x-\dfrac52 (\ln x)^2$ .
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ .

2. a) Hachurer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ .
b) Déterminer graphiquement une valeur approchée au cm² de l'aire de ce domaine.
c) Calculer la valeur exacte en cm² de l'aire de ce domaine.

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