6 points

exercice 1

Une urne A contient 100 boules indiscernables au toucher: 90 rouges et 10 noires.
Une urne B contient également 100 boules indiscernables au toucher: 30 rouges et 70 noires.

On réalise l'expérience suivante:
On lance un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
    si le numéro affiché par le dé est 1, on tire une boule dans l'urne A et on note sa couleur.
    Sinon, on tire une boule dans l'urne B et on note sa couleur.

On note :
    l'évènement «tirer une boule dans l'urne A»;
    l'évènement «tirer une boule dans l'urne B»;
    l'évènement «tirer une boule rouge»;
    l'évènement «tirer une boule noire».

1. Donner la probabilité de l'évènement .

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

3. Décrire l'évènement et calculer sa probabilité.

4. Montrer que .

5. a) Sachant que la boule obtenue après tirage est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'urne A.
    b) Les évènements et sont-ils indépendants ?

6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On désire maintenant modifier la composition de l'urne B pour que, lorsqu'on réalise l'expérience décrite ci-dessus, on ait autant de chances d'obtenir une boule rouge qu'une boule noire.
Proposer une composition de l'urne B qui convient. Expliquer la démarche de recherche.


4 points

exercice 2

Soit la suite définie pour tout nombre entier naturel par:
1. Calculer et .

2. On considère la suite définie pour tout nombre entier naturel par:
    a) Calculer et .
    b) Montrer que pour tout entier naturel , .
    c) Quelle est la nature de la suite ? Écrire en fonction de .

3. En déduire que pour tout nombre entier , .

4. Quelle est la limite de lorsque tend vers l'infini ?

5. À partir de quel nombre entier a-t-on ?


6 points

exercice 3

Soit la fonction définie sur l'intervalle I=[1 ; 7] par . On note sa courbe représentative.

1. Compléter le tableau de valeurs donné ci-dessous. On donnera des valeurs approchées à 10^-1 près.

	1	2	3	4	5	6	7
(à 10-1 près)			-0,7		-0,6	0,3

2. a) On note la fonction dérivée de la fonction . Calculer , pour dans l'intervalle I.
    b) Montrer que pour tout nombre réel de l'intervalle I, .
    c) Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle I, puis dresser le tableau de variations de .

3. Montrer que la courbe admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.

4. a) Dans le repère fourni ci-dessous, construire la courbe et ses deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.

    b) Déterminer le nombre de solutions de l'équation sur l'intervalle I.


4 points

exercice 4

La figure 1 ci-dessous représente le dessin en perspective cavalière d'un banc, dont l'assise rectangulaire est composée de deux carrés de même taille: et .
Le point désigne le centre du rectangle . Les quatre pieds , , et du banc ont tous la même longueur.

Dans toutes les constructions, laisser apparents les traits de construction. Repasser en gras la figure du banc.

Les images de , , , ... dans les représentations en perspective centrale sont notées avec des lettres minuscules : , , , ...
désigne la ligne d'horizon.

Les points , et sont situés dans un plan frontal.
La figure ci-dessous représente le début du dessin de ce même banc dans une perspective centrale. Le point est l'un des points de distance de la perspective.

1. Construire le point de fuite principal. On le notera .

2. Construire , le deuxième point de distance et justifier la construction par une propriété des points de distance.

3. Construire l'image de l'assise du banc.

4. Construire l'image du point puis terminer la construction de la représentation du banc.