Baccalauréat Général
Série Littéraire
Enseignement de spécialité
Centres étrangers - Session Juin 2011
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Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Deux annexes sont à rendre avec la copie
4 points
exercice 1
Partie A
On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] par
.
1. On désigne par la fonction dérivée de sur [0 ; 3].
Montrer que, pour tout nombre appartenant à [0 ; 3], .
2. Étudier les variations de la fonction sur [0 ; 3] et dresser son tableau de variation.
Partie B
Dans cette partie, on considère un enfant dont le poids à la naissance est 3 kg.
Pendant les trois premières années de la vie de l'enfant, on estime que son poids (en kg) est donné en fonction de son âge (en année) par .
La courbe représentative de la fonction est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.
1. Calculer le poids de cet enfant à l'âge de 6 mois. On donnera une valeur arrondie au dixième.
2. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'âge correspondant à un poids de 12 kg. On laissera apparents les traits de construction utiles à la lecture.
5 points
exercice 2
1. a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel (modulo 9).
b) On considère quatre nombres entiers naturels et compris entre 0 et 9, différent de 0. On pose .
Montrer que (modulo 9).
Dans la suite, on admettra que le résultat que l'on vient de montrer pour un nombre à quatre chiffres est valable pour tout nombre entier naturel, quel que soit son nombre de chiffres. Autrement dit, tout nombre entier naturel est congru modulo 9 à la somme de ses chiffres.
2. En utilisant le résultat précédent, déterminer les restes dans les divisions par 9 des nombres 321 765 et 415 283.
3. En déduire le reste dans la division par 9 du produit 321 765 415 283.
4. Jules a posé la multiplication 321 765 415 283 et a obtenu 133 623 534 485.
Peut-on affirmer, sans effectuer l'opération, que le résultat n'est pas correct ? Justifier la réponse donnée.
4 points
exercice 3
Le dessin donné dans la figure 1 de l'annexe ci-dessous montre une partie du mur qui divisait Berlin. Le mur est vertical et de hauteur constante, il est bordé d'une allée horizontale et rectangulaire. La photo montre également l'ombre du mur, portée par le soleil sur le sol de l'allée. La ligne d'horizon est parallèle au bord inférieur du dessin.
figure 1
1. Dessiner sur la figure 1 de l'annexe les lignes de fuite du haut et du bas du mur puis la ligne d'horizon. Pour une meilleure lisibilité des tracés, on prolongera les lignes en dehors du cadre de la photo.
2. La figure 2 de l'annexe est le début d'un dessin en perspective centrale de ce site. Le quadrilatère abcd est l'image du mur, le segment [be] est l'image de l'entrée de l'allée.
figure 2
a) Justifier que les deux droites (ab) et (cd) ont le même point de fuite . Placer ce point sur le dessin.
b) Compléter le quadrilatère abef image de l'allée.
c) À l'entrée de l'allée est posé un bac à fleur parallélépipédique EGHIJKLM.
La base EGHI repose sur le sol et la face EGKJ est frontale.
Les images e, g, h et k des points E, G, H et K sont placées sur la figure 2. Compléter sur le dessin l'image eghijklm de ce bac.
7 points
exercice 4
Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A
On considère l'algorithme suivant :
Entrée
Saisir deux nombres entiers naturels non nuls et .
Créer une liste vide L.
Initialisation
Affecter à la valeur 1.
Traitement
Tant que
Affecter à le reste de la division de par .
Affecter à la valeur de .
Ajouter le quotient de la division de par à la fin de la liste L.
Affecter à la valeur .
Sortie
Afficher la liste L.
1. Appliquer cet algorithme à et .
On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera.
Liste L
Initialisation
13
1
Fin étape 1
Fin étape 2
......
......
2. Écrire le début du développement décimal de , obtenu à la calculatrice.
Que représente la liste L pour le nombre ?
3. Le nombre est-il un nombre décimal ? Justifier la réponse donnée.
Partie B
1. On considère le nombre B dont l'écriture décimale illimitée est 0,375375375... où 375 est répété indéfiniment. Le nombre B est-il rationnel ? Justifier la réponse donnée.
2. On considère la suite définie par son premier terme et, pour tout nombre entier naturel .
a) Quelle est la nature de la suite ?
b) On considère, pour tout nombre entier naturel , la somme des premiers termes de la suite . On a donc ·
Exprimer en fonction de et déterminer la limite de la suite .
c) En déduire l'écriture du nombre B sous la forme d'une fraction irréductible.
Partie C
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère le nombre C dont l'écriture décimale illimitée est 2,585858... où 58 est répété indéfiniment. Écrire le nombre C sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers.
Publié par TP/
le
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