Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Littéraire
Enseignement de spécialité
Nouvelle-Calédonie - Novembre 2010

Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1

Un Centre Culturel propose, pour l'année, différentes sortes de spectacles :
    24 spectacles de théâtre,
    12 spectacles de musique,
    4 spectacles de danse.

Afin de recevoir davantage de public pour certaines manifestations, 25% des spectacles de théâtre, 50% des spectacles de musique et un seul spectacle de danse ont lieu sous chapiteau. Les autres spectacles ont lieu dans le Centre Culturel.
Une personne choisit au hasard un spectacle parmi les 40 spectacles programmés.
    On note T l'événement «Le spectacle choisi est un spectacle de théâtre».
    On note M l'événement «Le spectacle choisi est un spectacle de musique».
    On note D l'événement «Le spectacle choisi est un spectacle de danse».
    On note P l'événement «Le spectacle choisi a lieu sous chapiteau».

Partie 1

Compléter l'arbre de probabilité illustrant cette situation sur l'annexe suivante (à remettre avec la copie).

Epreuve de spécialité du bac L Nouvelle Calédonie novembre 2010 - terminale : image 1

Partie 2

Pour chacune des propositions suivantes, une seule des réponses a), b) ou c) est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse n'enlève aucun point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

1. La probabilité que la personne choisisse un spectacle de musique est :

a) $\dfrac{1}{3}$

b) 0,3

c) $\dfrac{1}{40}$

2. La personne ayant choisi un spectacle de théâtre, la probabilité de ne pas être sous chapiteau est :

a) 0,75

b) $\dfrac{1}{4}$

c) $\dfrac{18}{40}$

3. La probabilité que la personne choisisse un spectacle de musique sous chapiteau est :

a) 0,5

b) $\dfrac{3}{20}$

c) 0,12

4. La probabilité d'avoir choisi un spectacle sous chapiteau est:

a) $\dfrac{76}{100}$

b) 0,33

c) $\dfrac{13}{40}$

5. Le spectacle ayant lieu sous chapiteau, la probabilité d'avoir choisi un spectacle de musique est

a) $\dfrac{6}{13}$

b) 0,5

c) $\dfrac{13}{40}$

6 points

exercice 2

Pierre affirme: «Pour tout entier naturel $n$ , les nombres $n^2 -1$ et $n^3 - n$ sont multiples de 3».
Jules dit «quel que soit l'entier naturel $n, 2n^2 + n + 1$ n'est pas divisible par 3».

1. Pierre et Jules réalisent le tableau suivant que vous recopierez et complèterez sur votre copie :

$n$	$n^2$	$n^3$	$n^2 - 1$	$n^3 - n$	$2n^2 + n + 1$
1
4
5
10

2. La seule lecture du tableau précédent permet-elle de dire:
a) que l'affirmation de Pierre est exacte ?
b) que l'affirmation de Jules est exacte ?

3. a) Recopier le tableau suivant et le compléter en utilisant les propriétés des congruences. Les résultats donnés seront des entiers naturels inférieurs ou égaux à 2.

Si $n \equiv 0 \mod 3$	Si $n \equiv 1 \mod 3$	Si $n \equiv 2 \mod 3$
$n^2 \equiv ...\mod 3$	$n^2 \equiv ...\mod 3$	$n^2 \equiv ... \mod 3$
$n^2 - 1 \equiv ...\mod 3$	$n^2 - 1 \equiv ...\mod 3$	$n^2 - 1 \equiv ... \mod 3$
$n^3 \equiv ... \mod 3$	$n^3 \equiv ...\mod 3$	$n^3 \equiv \mod 3$
$n^3 - n \equiv ...\mod 3$	$n^3 - n \equiv ...\mod 3$	$n^3 - n \equiv ... \mod 3$

b) Que peut-on en conclure pour l'affirmation de Pierre?

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

En utilisant une méthode similaire à celle développée dans la question 3., démontrer que la propriété énoncée par Jules est exacte.

7 points

exercice 3

On considère la fonction exponentielle définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ , notée $f$ et définie par $f(x) = \text{e}^x$ . La représentation graphique $\mathcal{C}$ de cette fonction dans un repère est donnée sur la feuille annexe ci-dessous.

Epreuve de spécialité du bac L Nouvelle Calédonie novembre 2010 - terminale : image 2

Les points à placer et les tracés demandés seront effectués sur l'annexe à remettre avec la copie.

1. Placer sur la courbe $\mathcal{C}$ le point A $_{0}$ d'abscisse 1. Quelles sont ses coordonnées (donner les valeurs exactes) ?

2. On a placé sur l'axe des abscisses les points B $_{0}$ , B $_{0}$ , B $_{0}$ 2, B $_{0}$ d'abscisses respectives 0, - 1, - 2, - 3. En appliquant l'algorithme suivant, compléter le dessin :

    Initialisation : affecter à $i$ la valeur 0.
    A $_{0}$ est le point défini dans la question 1.
    Traitement : tant que $i \le 3$ tracer le segment $\left[\text{A}_{i}\text{B}_{i}\right]$ ,
    Affecter à $i$ la valeur $i + 1$ .
    Placer le point A $_{i}(1 - i ; f(1- i))$ .
    Aide : on trouvera comme point A $_{1}$ le point de coordonnées (0 ; 1).

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A $_{0}$ . Démontrer que cette tangente est la droite (A $_{0}$ B $_{0}$ ).

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A $_{1}$ . Démontrer que cette tangente est la droite (A $_{1}$ B $_{1}$ ).

On admettra que cette propriété démontrée dans les questions 3. et 4. pour les droites (A $_{0}$ B $_{0}$ ) et (A $_{1}$ B $_{1}$ ) est encore vraie pour toute droite (A $_{n}$ B $_{n}$ ), c'est-à-dire que la droite (A $_{n}$ B $_{n}$ ) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A $_{n}$ , où A $_{n}$ est le point obtenu par application de l'algorithme précédent et B $_{n}$ est le point de l'axe des abscisses d'abscisse $-n$ , $n$ étant un entier naturel quelconque.

5. Tracer avec précision la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse - 3. Justifier la construction.

6. Dans cette question on donnera la valeur exacte des résultats,
    a) Placer le point I(1 ; 0).
    b) On note $a_{0}$ l'aire du triangle A $_{0}$ B $_{0}$ I. Calculer $a_{0}$ .
    c) On note $a_{1}$ et $a_{2}$ les aires respectives des triangles A $_{1}$ B $_{1}$ B $_{0}$ et A $_{2}$ B $_{2}$ B $_{1}$ . Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .

Aide :

L'aire d'un triangle rectangle est égale à $\dfrac{b \times c}{2}$ , $b$ et $c$ désignant les longueurs des côtés de l'angle droit.

7. Pour tout entier $n \ge 1$ , on désigne par $a_{n}$ l'aire du triangle A $_{n}$ B $_{n}$ B $_{n-1}$ . On admet que $\left(a_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ .
a) Vérifier cette affirmation pour $a_{0}, a_{1}$ et $a_{2}$ ; montrer que $q = \dfrac{1}{\text{e}}$ .
b) Déterminer l'expression du terme général $a_{n}$ de cette suite. Quelle est la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ ?

Publié par TP/ le 30-11--0001

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