Fiche de mathématiques

Bac 2010

Bac Scientifique
Antilles-Guyane - Session 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétrée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une ou deux des réponses proposées sont correctes.
Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de 0,25 point.
Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.
Si le total des points obtenus est négatif, la note attribuée à l'exercice est 0.
Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).

1. On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à : $\displaystyle\bullet\,\textbf{A\,:}\,\frac{5}{8}\quad\quad\bullet\,\textbf{B\,:}\,\frac{21}{32}\quad\quad\bullet\,\textbf{C\,:}\,\frac{11}{32}\quad\quad\bullet\,\textbf{D\,:}\,\frac{3}{8}$

2. On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.
La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à : $\displaystyle\bullet\,\textbf{A\,:}\,\frac{105}{248}\quad\quad\bullet\,\textbf{B\,:}\,\frac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}\quad\quad\bullet\,\textbf{C\,:}\,\frac{21^2}{32^2}\quad\quad\bullet\,\textbf{D\,:}\,\frac{5^2}{8^2}$

3. On suppose la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0;1]$ .
La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min et : $\displaystyle\bullet\,\textbf{A\,:}\,\frac{1}{3}\quad\quad\bullet\,\textbf{B\,:}\,\frac{1}{5}\quad\quad\bullet\,\textbf{C\,:}\,\frac{1}{12}\quad\quad\bullet\,\textbf{D\,:}\,\frac{1}{4}$

4. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égal à 0,15.
La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à : $\displaystyle\bullet\,\textbf{A\,:}\,0,35\,à\,10^{-2}\,\text{près}\quad\quad\bullet\,\textbf{B\,:}\,0,85^9\quad\quad\bullet\,\textbf{C\,:}\,0,89^9\times0,15\quad\quad\bullet\,\textbf{D\,:}\,0,85^9\times0,15\times10$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$ d'unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances
Pour $M\neq\Omega$ , on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si :
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{lr}\Omega M'=\Omega M & (1)\\\left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\theta\,\text{à}\,2k\pi\,\text{près}\,(k\in\mathbb{Z}) & (2)\end{array}\right..$
    a) Soient $z$ , $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$ , $M'$ et $\Omega$ .
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
    b) En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$ , $\theta$ et $\omega$ .

2. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2-4\sqrt{3}z+16=0$ .
On donnera les solutions sous forme algébrique.

3. Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2i$ et $b=2\sqrt{3}+2i$ .
    a) Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
    b) Faire une figure et placer les points $A$ et $B$ .
    c) Montrer que $OAB$ est un triangle équilatéral.

4. Soit $C$ le point d'affixe $c=-8i$ et $D$ son image par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{2\pi}{3}$ .
Placer les points $C$ et $D$ .
Montrer que l'affixe du point $D$ est $d=4\sqrt{3}+4i$ .

5. Montrer que $D$ est l'image du point $B$ par une homothétie de centre $O$ dont on déterminera le rapport.

6. Montrer que $OAD$ est un triangle rectangle.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$ d'unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances
On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet une expression complexe de la forme $z'=a\bar{z}+b$ où $a\in\mathbb{C}^\star$ et $b\in\mathbb{C}$ .
Propriété 2 : Soit $C$ un point d'affixe $c$ . Pour tout point $D$ , distinct de $C$ , d'affixe $d$ et pour tout point $E$ , distinct de $C$ , d'affixe $e$ , on a : $\displaystyle\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CE}\right)={\rm arg}\left(\frac{e-c}{d-c}\right)\,[2\pi]$ .
Question : Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.

2. Soient les points $C$ et $D$ d'affixes respectives $c=3$ et $d=1-3i$ , et $\mathcal{S}_1$ la similitude qui à tout point $M$ du plan associe le point $M_1$ symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(O;\vec{u}\right)$ des réels.
a) Placer les points $C$ et $D$ puis leurs images respectives $C_1$ et $D_1$ par $\mathcal{S}_1$ . On complètera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
b) Donner l'expression complexe de $\mathcal{S}_1$ .

3. Soit $\mathcal{S}_2$ la similitude directe définie par :

le point $C_1$ et son image $C'$ d'affixe $c'=1+4i$ ;

le point $D_1$ et son image $D'$ d'affixe $d'=-2+2i$ .
    a) Montrer que l'expression complexe de $\mathcal{S}_2$ est : $z'=iz+1+i$ .
    b) En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.

4. Soit $\mathcal{S}$ la similitude définie par $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$ .
Déterminer l'expression complexe de $\mathcal{S}$ .

5. On pourra admettre désormais que $S$ est la similitude indirecte d'expression complexe : $z'=i\bar{z}+1+i$ .
    a) Quelle est l'image de $C$ par $\mathcal{S}$ ? Quelle est l'image de $D$ par $\mathcal{S}$ ?
    b) Soit $H$ le point d'affixe $h$ tel que : $h-c={\rm e}^{i\frac{\pi}{3}}(d-c)$ .
    Montrer que le triangle $CDH$ est équilatéral direct.
    c) Soit $H'$ l'image de $H$ par $\mathcal{S}$ . Préciser la nature du triangle $C'D'H'$ et construire le point $H'$ (on ne demande pas de calculer l'affixe $h'$ du point $H'$ ).

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $I=[-3;8]$ . Sujet de bac S des Antilles-Guyane, 18 juin 2010 : image 1

Sujet de bac S des Antilles-Guyane, 18 juin 2010 : image 1

On définit la fonction $F$ sur $I$ , par $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)dt$ .

1. a) Que vaut $F(0)$ ?
b) Donner le signe de $F(x)$ :

pour $x\in[0;4]$ ;

pour $x\in[-3;0]$ .
    Justifier les réponses.
    c) Faire figurer sur le graphique donné en ANNEXE (voir ci-dessus) les éléments permettant de justifier les inégalités $6\leq F(4)\leq12$ .

2. a) Que représente $f$ pour $F$ ?
    b) Déterminer le sens de variation de la fonction $F$ sur $I$ . Justifier la réponse à partir d'une lecture graphique des propriétés de $f$ .

3. On dispose de deux représentations graphiques sur $I$ .
Sujet de bac S des Antilles-Guyane, 18 juin 2010 : image 2

Sujet de bac S des Antilles-Guyane, 18 juin 2010 : image 2

L'une de ces courbes peut-elle représenter la fonction $F$ ? Justifier la réponse.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-x\ln x$ .

1. Déterminer les limites de la fonction $g$ en 0 et $+\infty$ .

2. Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et que $g'(x)=-\ln x$ .

3. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ .

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$ par $\displaystyle u_n=\frac{{\rm e}^n}{n^n}$ .

1. Conjecturer, à l'aide de la calculatrice :
    a) le sens de variation de la suite $(u_n)$ ;
    b) la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ .

2. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$ par $v_n=\ln(u_n)$ .
    a) Montrer que $v_n=n-n\ln n$ .
    b) En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$ .
    c) En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ .

3. Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.

4. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Merci à Porcepic pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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