Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Amérique du Nord - Session Juin 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : $\text{A}(1 ; - 2 ; 4) \quad \text{B}(-2 ; -6 ; 5)\quad \text{C}(- 4 ; 0 ; -3)$ .
1. a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    b) Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1 ; -1 ; -1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
    c) Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).
    b) Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite (BC).
Soit $t$ le réel tel que $\overrightarrow{\text{BH}} = t \overrightarrow{\text{BC}}$ .
    a) Démontrer que $t = \dfrac{\overrightarrow{\text{BO}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}}}{\left\|\overrightarrow{\text{BC}}\right\|^2}$ .
    b) En déduire le réel $t$ et les coordonnées du point H.

3 points

exercice 2

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.
20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges.
Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.
Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à $\dfrac{2}{7}$ .

3. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On effectue $n$ tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne).
a) Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages.
b) Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à 0,99.

5 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 2 cm.
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
Soit $f$ l'application qui à tout point M d'affixe $z (z \neq \text{i})$ associe le point M' d'affixe $z'$ définie par : $z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}$ .
1. Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$ .

2. Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D' associé au point D par l'application $f$ .

3. a) Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i}$ , $\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$ .
    b) En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ :
        $\text{BM}' \times \text{AM} = 1$
        et $\left(\vec{u}, \overrightarrow{\text{BM}'}\right) = - \left(\vec{u}, \overrightarrow{\text{AM}}\right) + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

4. a) Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$ .
    b) En utilisant les résultats de la question 3. b), placer le point E' associé au point E par l'application $f$ . On laissera apparents les traits de construction.

5. Quelle est la nature du triangle BD' E' ?

5 points

exercice 3 - Enseignement de spécialité

Partie A

On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x, y)$ solutions de l'équation $(\text{E}) :\quad 16x - 3y = 4$ .
1. Vérifier que le couple (1, 4) est une solution particulière de (E).

2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On considère la transformation $f$ du plan, qui à tout point M d' affixe $z$ , associe le point M' d'affixe $z'$ définie par $z' = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{8}}z$ . On définit une suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la manière suivante :
le point M₀ a pour afflxe $z_{0} = \text{i}$ et pour tout entier naturel $n$ , $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$ .
On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$
Les points M₀, M₁, M₂ et M₃ sont placés sur la figure donnée en annexe ci-dessous.

Bac scientifique Amérique du Nord Juin 2010 - terminale : image 1

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ .

2. On note $g$ la transformation $f \circ f \circ f \circ f$ .
    a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$ .
    b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $\text{OM}_{n+4} =4 \text{OM}_{n}$ et que $\left(\overrightarrow{\text{OM}_{n}}, \overrightarrow{\text{OM}_{n+4}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.
    c) Compléter la figure en construisant les points M₄, M₅ et M₆.

3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $z_{n} = \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3n\pi}{8} \right)}$ .

4. Soient deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \le n$ .
    a) Exprimer en fonction de $n$ et $p$ une mesure de $\left(\overrightarrow{\text{OM}_{p}}, \overrightarrow{\text{OM}_{n}}\right)$ .
    b) Démontrer que les points O, $M_{p}$ et $M_{n}$ sont alignés si et seulement si $n - p$ est un multiple de 8.

5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que le point $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O $x$ ). On pourra utiliser la partie A.

8 points

exercice 4

À tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_{n}(x) = \dfrac{4\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 7}$ . On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
Les courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont données en annexe ci-dessous.

Bac scientifique Amérique du Nord Juin 2010 - terminale : image 2

Partie A :

Étude de la fonction $f_{1}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_{1} (x) = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 7}$

1. Vérifier que pour tout réel $x$ , $f_{1}(x) = \dfrac{4}{1 + 7\text{e}^{-x}}$ .

2. a) Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
    b) Démontrer que la fonction $f_{1}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
    c) Démontrer que pour tout réel $x$ , $0 < f_{1}(x) < 4$ .

3. a) Démontrer que le point I₁ de coordonnées $(\ln 7 ; 2)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ .
    b) Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{1}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point I₁.
    c) Tracer la droite $(T_{1})$ .

4. a) Déterminer une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$ .
    b) Calculer la valeur moyenne de $f_{1}$ sur l'intervalle $[O ; \ln 7]$ .

Partie B :

Étude de certaines propriétés de la fonction $f_{n}$ .

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul le point A $\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{n}$ ·

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul la courbe $\mathcal{C}_{n}$ et la droite d'équation $y = 2$ ont un unique point d'intersection dont on précisera l' abscisse.
On note $I_{n}$ ce point d'intersection.
b) Déterminer une équation de la tangente $(T_{n})$ à la courbe $\mathcal{C}_{n}$ au point $I_{n}$ .
c) Tracer les droites $(T_{2})$ et $(T_{3})$ .

3. Soit la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $\displaystyle u_{n} = \dfrac{n}{\ln 7}\int_{0}^{\frac{\ln 7}{n}} f_{n}(x)\:\text{d}x$ . Montrer que la suite $(u_{n})$ est constante.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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