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Fiche de mathématiques




Durée de l'épreuve : 2 heures       Coefficient : 3
L'utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu'il aura développée.
Par ailleurs, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Une compagnie d'assurance estime que la valeur marchande d'une machine achetée 2 000 euros le 1er janvier 2010 baisse de 18% par an.

1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant au centime d'euro si nécessaire :
Année201020112012201320142015201620172018
Valeur (en euros)2 000   904,24    


2. Montrer que ces valeurs sont les termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison.

3. On considère la fonction f définie sur [0 ; 18] par
f(t) = 2000 \times  (0,82)^t.
On admet que f a les mêmes variations sur [0 ; 18] que la fonction qui à t associe (0, 82)^t. Quel est le sens de variation de la fonction f sur [0 ; 18] ?

4. Résoudre, par le calcul, l'inéquation : f(t) \le 500.

5. En déduire à partir de quelle année la valeur marchande de la machine est inférieure ou égale au quart de sa valeur initiale. Est-ce cohérent avec le tableau de la question 1. ?


6 points

exercice 2

La feuille de calcul ci-dessous, réalisée à l'aide d'un tableur, donne l'avance ou le retard de l'ensemble des élèves de troisième scolarisés à la rentrée 2007 :
 ABCDEFG
1Avance ou retard des élèves scolarisés en classe de troisième
2       
3       
4 En avanceÀ l'heure1 an de retard2 ans et plus de retardEnsemble 
5Effectifs      
6Filles12 386250 340109 05017 229389 005 
7Garçons12 386224 027139 00320 851395 969 
8Ensemble24 474474 367248 05338 080784 974 
9Proportions en %      
10Filles3,264,428,04,4100,0 
11Garçons3,156,635,15,3100,0 
12Ensemble3,160,431,64,9100,0 
13Champ : France - enseignement public et privé, ministère de l'Éducation Nationale
14Source : ministère de l'Éducation Nationale, Depp.


Partie A

Quelle formule a-t-il fallu insérer dans la cellule B12 afin que, recopiée vers la droite jusqu'en E12, elle calcule la proportion en pourcentage d'élèves de troisième en avance, à l'heure ou en retard à partir des effectifs donnés par les trois premières lignes du tableau ?
On choisira une seule réponse parmi les quatre proposées ci-dessous.
a) =B8/F8*100 ;b) =B8/$F8*100;c) =B$8/F8*100;d) =B8/F$8*100


Partie B

On tire au hasard la fiche d'un élève de troisième. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
Soit A l'évènement: «La fiche choisie est celle d'une fille».
Soit B l'évènement: «La fiche choisie est celle d'un élève en retard de deux ans ou plus».
Les résultats seront arrondis au centième.

1. Calculer les probabilités p(A) et p(B).

2. Décrire par une phrase l'évènement A \cap B.

3. Calculer p(A \cap B).

4. Calculer la probabilité de A sachant B, notée p_{B}(A).

5. Sachant que la fiche choisie est celle d'un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit en avance d'un an ?


9 points

exercice 3

Partie A

Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un nouveau remède. Une étude prouve que la fréquence f(t) de personnes connaissant le nom de ce remède après t semaines de publicité est donnée par :
f(t) = \dfrac{3t}{3t + 2}     avec   t \ge 0.

1. Calculer f(2).

2. En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout de deux semaines.

3. Comment peut-on interpréter la valeur de l'image de 0 par f ?

Partie B

Une représentation graphique \mathcal{C} de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 18] est donnée en annexe dans un repère orthogonal.
Unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.
bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, La Réunion juin 2010 - terminale : image 1


1. On admet que f est dérivable sur [0 ; 18] et que sa dérivée est donnée par f'(t) =  \dfrac{6}{(3t + 2)^2}.
Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 18].

2. Calculer le nombre dérivé de f en t = 1.

3. T est la tangente à la courbe \mathcal{C} au point A d'abscisse 1. Quel est son coefficient directeur ?

4. Tracer T sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).

5. Tracer les droites D d'équation y = 0,90 et D' d'équation y = 0,95.
Déterminer graphiquement le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90% de la population connaisse le nom du remède.
Combien de semaines sont nécessaires pour passer de 90% à 95% ?
On laissera les traits de construction apparents.

6. Le ministère a décidé d'arrêter la campagne au bout de six semaines. Justifier ce choix.




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