Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - Session Juin 2010

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

Partie A

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère l'ellipse (E) d'équation : $x^2 + 9y^2 = 900$ .

1. Déterminer les coordonnées de ses sommets A, A', B, B' (A et A' étant les sommets situés sur le grand axe de l'ellipse).

2. Dans le repère joint en annexe 1, les quatre points marqués. D, G, H, K sont des points de (E). Construire (E) dans ce repère.

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2010 - terminale : image 1

3. Tracer dans ce repère la droite d'équation $y = 9$ . Elle coupe l'ellipse (E) en deux points C et C'.
    a) Lire les abscisses de ces points, avec la précision permise par le dessin.
    b) Résoudre l'équation : $x^2 + 9^3 = 900$ .
En déduire les valeurs exactes des abscisses des points C et C'.

4. Tracer la droite d'équation $x = 8$ . Elle coupe l'ellipse (E) en deux points J et J'.
    a) Lire les ordonnées de ces points, avec la précision permise par le dessin.
    b) Résoudre l'équation : $8^2 +9y^2 = 900$ .
En déduire les valeurs exactes des ordonnées des points J et J'.

Partie B

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12 points

exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; $+\infty$ [ par : $f(x) = 1 + \ln (x + 2)$ .

1. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ ; étudier son signe et en déduire les variations de $f$ .

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .

3. Recopier et compléter le tableau suivant puis tracer la courbe $(\mathcal{C})$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies au dixième.

$x$	0	1	2	3	4	5
$f(x)$

4. On considère la fonction $g$ définie sur [0 ; $+\infty$ [ par : $g(x) = (x + 2) \ln (x + 2)$ . Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur [0 ; $+\infty$ [.

5. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan délimité par $(\mathcal{C})$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 5$ .
En déduire une valeur approchée de cette aire en cm² à 1 mm² près.

6. Ce domaine représente à l'échelle $\dfrac{1}{40}$ l'un des deux battants d'un portail.
Quelle est l'aire totale de ce portail en m² à 1 cm² près ?

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EXERCICE 1

Partie A

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère l'ellipse (E) d'équation :

$x^2+9y^2=900$
1. Déterminer les coordonnées de ses sommets A, A', B, B' (A et A' étant les sommets situés sur le grand axe de l'ellipse).

L'équation d'une éllipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit sous la forme :

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Nous avons :

$(E):x^2+9y^2=900\Longleftrightarrow \frac{x^2}{900}+\frac{y^2}{100}=1\Longleftrightarrow \frac{x^2}{30^2}+\frac{y^2}{10^2}=1$

Donc :

$\left\lbrace\begin{array}l a=5 \\ b=10 \end{array}$

Les coordonnées des sommets de l'éllipse sont donc :

$\left\lbrace\begin{array}l A(a,0)=A(30,0) \\ A'(-a,0)=A'(-30,0)\\B(0,b)=B(0,10)\\B'(0,-b)=B'(0,-10) \end{array}$

2. Dans le repère joint en annexe 1, les quatre points marqués D, G, H, K sont des points de (E). Construire (E) dans ce repère.

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3. Tracer dans ce repère la droite d'équation $y=9$ . Elle coupe l'ellipse (E) en deux points C et C'.

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a) Lire les abscisses de ces points, avec la précision permise par le dessin.

On lit $x_C=13$ et $x_{C'}=-13$

b) Résoudre l'équation : $x^2+9^3=900$ .
En déduire les valeurs exactes des abscisses des points C et C'.

Résolution de $x^2+9^3=900$

$x^2+9^3=900$

$\Longleftrightarrow x^2=900-9^3=900-729=171$

$\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{171}=\pm\sqrt{9\times 19}=\pm\sqrt{3^2\times 19}=\pm 3\sqrt{19}$

Abscisses des points C et C'

Les points C et C' sont sur l'ellipse (E), leurs coordonnées vérifient donc son équation, à savoir : $x^2+9y^2=900$

Les points C et C' sont aussi sur la droite d'équation $y=9$ , ils ont donc 9 chacun pour ordonnée.

Donc les coordonnées de C et de C' vérifient l'équation $x^2+9\times 9^2=900\Longleftrightarrow x^2+9^3=900$ résolue ci-dessus.

Nous avons donc comme valeurs exactes des abscisses de C et de C' :

Donc : $\left\lbrace\begin{array}l x_C=3\sqrt{19}\approx 13,08 \\ x_{C'}=-3\sqrt{19}\approx -13,08 \end{array}$

4. Tracer la droite d'équation $x=8$ . Elle coupe l'ellipse (E) en deux points J et J'.
a) Lire les ordonnées de ces points, avec la précision permise par le dessin.

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On lit $y_J=9,5$ et $y_{J'}=-9,5$

b) Résoudre l'équation : $8^2+9y^2=900$ .
En déduire les valeurs exactes des ordonnées des points J et J'.

Résolution de $8^2+9y^2=900$

$8^2+9y^2=900$

$\Longleftrightarrow 9y^2=900-8^2=900-64=836$

$\Longleftrightarrow y^2=\frac{836}{9}$

$\Longleftrightarrow y=\pm\sqrt{\frac{836}{9}}=\pm\frac{\sqrt{4\times 209}}{3}=\pm\frac{\sqrt{2^2\times 209}}{3}=\pm \frac{2\sqrt{209}}{3}$

Ordonnées des points J et J'

Les points J et J' sont sur l'ellipse (E), leurs coordonnées vérifient donc son équation, à savoir : $x^2+9y^2=900$

Les points J et J' sont aussi sur la droite d'équation $x=8$ , ils ont donc chacun 8 pour abscisse.

Donc les coordonnées de J et de J' vérifient l'équation $8^2+9y^2=900$ résolue ci-dessus.

Nous avons donc comme valeurs exactes des ordonnées de J et de J' :

Donc : $\left\lbrace\begin{array}l y_J=\frac{2\sqrt{209}}{3}\approx 9,64 \\ y_{J'}=-\frac{2\sqrt{209}}{3}\approx -9,64 \end{array}$

Partie B

L'ellipse (E) définie dans la partie A est la réunion de deux demi-ellipses. La demi-ellipse située au dessus de l'axe des abscisses représente une arche de pont au dessus d'une rivière (unité graphique du repère de l'annexe 1 : 1 carreau pour 1 m). Le segment [AA'] représente la surface de l'eau.

1. Donner en mètres, la largeur AA' de la rivière et la hauteur OB sous le pont.

$\text{Largeur de la rivière}=AA'=2a=2\times 30=60\text{ mètres}$

$\text{Hauteur sous pont}=OB=b=10\text{ mètres}$

2. Une péniche de section rectangulaire, de largeur $L$ et de hauteur $h$ doit passer sous cette arche. (Voir schéma ci-dessous).
a) Si la péniche fait 9 m de haut, quelle peut être sa largeur maximale à 0,1 m près ?

Si la péniche fait 9 mètres de haut, sa demi-largeur sera donnée par la résolution de l'équation

$x^2+9\times 9^2=900\Longleftrightarrow x^2+9^3=900$

et vue à la question 3-b de la partie A.

La largeur maximale de la péniche pour une hauteur de 9 mètres sera donc de $2\times 13,08=26,16 \approx 26 \text{ mètres}$

b) Si la péniche fait 16 m de large, quelle peut être sa hauteur maximale à 0,1 m près ?

Si la péniche fait 16 mètres de large, sa demi-largeur sera de 8 mètres, et donc sa hauteur sera donnée par la résolution de l'équation

$8^2+y^2=900$ et déjà vue à la question 4-b de la partie A.

La hauteur maximale de la péniche pour une largeur de 16 mètres sera donc de $9,64\approx 9,50 \text{ mètres}$

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EXERCICE 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par :
$f(x)=1+ln(x+2)$

1. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ ; étudier son signe et en déduire les variations de $f$ .

Calcul de $f'(x)$

La fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et :

$f'(x)=\frac{1}{x+2}$

Signe de $f'(x)$

$\forall x\in [0,+\infty[, x+2>0\Longleftrightarrow \frac{1}{x+2}>0\Longleftrightarrow f'(x)>0$ , donc $f$ croissante sur $[0,+\infty[$

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$

$\underset{x\to +\infty}{lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{lim}[1+ln(x+2)]=+\infty$

3. Recopier et compléter le tableau suivant puis tracer la courbe $(C)$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies au dixième.

Tableau de valeurs

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Courbe $(C)$ représentative de $f$

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4. On considère la fonction $g$ définie sur $[0,+\infty[$ par :
$g(x)=(x+2)ln(x+2)$
Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0,+\infty[$ .

Si $g$ est une primitive de $f$ sur $[0,+\infty[$ , alors on aura : $g'(x)=f(x)$

$g$ est de la forme $g=uv$ , donc $g'=u'v+uv'$

$g'(x)=ln(x+2)+(x+2)\frac{1}{x+2}=ln(x+2)+1=f(x)$

Donc $g$ est bien une primitive de $f$ .

5. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan délimité par $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ .
En déduire une valeur approchée de cette aire en cm2 à 1 mm2 près.

Calcul de l'aire

$\text{Aire}=\int_0^5f(x)dx=[g(x)]_0^5=[(x+2)ln(x+2)]_0^5=7ln7-2ln2\approx 12,24\text{ unités d'aire avec une unité d'aire égale à }2\times 2=4\text{ cm}^2$

Donc :

$I_n=(7ln7-2ln2)\times 4=48,94\text{ cm}^2$

Représentation graphique (non demandé)

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6. Ce domaine représente à l'échelle $\frac{1}{40}$ l'un des deux battants d'un portail.
Quelle est l'aire totale de ce portail en m2 à 1 cm2 près ?

L'échelle étant au $\frac{1}{40}$ , une graduation de 2 cm sur le graphique représente une longueur réelle de $0,80$ mètre.

Une unité d'aire du graphique correspond donc à $0,80\times 0,80=0,64\text{ m}^2$ réel.

Le domaine mesuré étant :

$I_n=7ln7-2ln2\text{ unités d'aire}$

et le portail étant constitué de 2 battants, la surface totale du portail est donc :

$\text{Aire du portail}=2I_n\times 0,64=2(7ln7-2ln2)\times 0,64=15,66\text{ m}^2$

Publié par TP/Jedoniezh le 31-01-2016

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